Problem B. 5266. (October 2022)

B. 5266. Some football players are on holiday together. Altogether they are from \(\displaystyle k\) clubs and from \(\displaystyle n\) nations where \(\displaystyle k<n\). Show that there are at least \(\displaystyle n-k+1\) players having more club fellows than compatriots.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Képzeljük el, hogy mindegyik, a nyaralásban érintett klub küld egy-egy körtetortát a nyaralóknak. Az egy klubhoz tartozók egymás között egyenlően elosztva fogyasztják el a klubtól kapott körtetortát, így ha az \(\displaystyle i\)-edik játékosnak \(\displaystyle k_i\) klubtársa van jelen, akkor \(\displaystyle \frac1{k_i+1}\) körtetortát evett.

Ezután mindegyik érintett ország küld egy-egy narancstortát is a nyaralóknak. Ezúttal a honfitársak osztoznak testvériesen egy-egy tortán, így ha az \(\displaystyle i\)-edik játékosnak \(\displaystyle n_i\) honfitársa van jelen, akkor \(\displaystyle \frac1{n_i+1}\) narancstorta jut neki. Ha a torták mind egyforma méretűek, akkor pontosan azok ettek több narancstortát, mint körtetortát, akik több klubtárssal nyaralnak együtt, mint honfitárssal.

Összesen \(\displaystyle n\) narancstorta és \(\displaystyle k\) körtetorta fogyott. Minden játékosra teljesül, hogy legfeljebb 1 egész narancstortát, és 0-nál több körtetortát evett. Egy focistánál tehát csak 1-nél kisebb többlet keletkezhet a narancstorta-fogyasztásból a körtetorta-fogyasztással szemben. (Algebrázva: \(\displaystyle \frac1{n_i+1} - \frac1{k_i+1} < 1\), mivel mindkét tag a \(\displaystyle (0,1]\) intervallumban van.) Így az \(\displaystyle n-k\) tortányi naracstöbblet eléréséhez kell legalább \(\displaystyle n-k+1\) olyan focista, akinek több narancstorta jutott, mint körtetorta.

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Chrobák Gergő, Domján Olivér, Duchon Márton, Elekes Dorottya, Fülöp Csilla, Horváth 530 Mihály, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Simon László Bence, Sütő Áron, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Wiener Anna.
3 points:	1 student.
2 points:	5 students.
1 point:	14 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2022