 |
A B. 5270. feladat (2022. november) |
B. 5270. \(\displaystyle n^2\) darab egységnyi oldalú szabályos háromszögből egy \(\displaystyle n\) egység oldalú háromszöget állítottunk össze, és a kis háromszögeket felváltva sötétre és világosra színeztük. A háromszögekbe beírtuk sorban az \(\displaystyle 1, 2, 3,\dots, n^2\) számokat az ábra szerint. Mennyi a sötét háromszögekbe írt számok összege?
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(3 pont)
A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Felülről a \(\displaystyle k\)-adik ,,sorban'' a háromszögek száma \(\displaystyle 2k-1\), így az első \(\displaystyle k\) sorban összesen annyi háromszög van, mint az első \(\displaystyle k\) pozitív páratlan szám összege, vagyis \(\displaystyle k^2\). Tehát a \(\displaystyle k\)-adik sorban lévő háromszögekbe írt számok:
\(\displaystyle (k-1)^2+1,(k-1)^2+2,\dots,k^2.\)
Az első és az utolsó háromszög mindig sötét, így a \(\displaystyle k\)-adik sorban lévő sötét háromszögekbe írt számok egy \(\displaystyle k\) hosszúságú számtani sorozatot alkotnak, összegük
\(\displaystyle ((k-1)^2+1)+((k-1)^2+3)+\dots+k^2=\frac{((k-1)^2+1)+k^2}{2}\cdot k=k^3-k^2+k.\)
A sötét háromszögekbe írt számok összege így
$$\begin{multline*}\sum\limits_{k=1}^n (k^3-k^2+k)=\sum\limits_{k=1}^n k^3 - \sum\limits_{k=1}^n k^2 + \sum\limits_{k=1}^n k=\\ =\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(3n^2-n+4)}{12}. \end{multline*}$$Tehát a sötét háromszögekbe írt számok összege
\(\displaystyle \frac{n(n+1)(3n^2-n+4)}{12}.\)
Statisztika:
163 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 109 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai