Problem B. 5270. (November 2022)
B. 5270. \(\displaystyle n^2\) regular triangles of unit side are used to make a large regular triangle of side \(\displaystyle n\) units. The small triangles are coloured alternately dark and light. The numbers \(\displaystyle 1, 2, 3,\dots, n^2\) are written in the triangles, as shown in the figure. What is the sum of the numbers in the dark triangles?
Proposed by L. Németh, Fonyód
(3 pont)
Deadline expired on December 12, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Felülről a \(\displaystyle k\)-adik ,,sorban'' a háromszögek száma \(\displaystyle 2k-1\), így az első \(\displaystyle k\) sorban összesen annyi háromszög van, mint az első \(\displaystyle k\) pozitív páratlan szám összege, vagyis \(\displaystyle k^2\). Tehát a \(\displaystyle k\)-adik sorban lévő háromszögekbe írt számok:
\(\displaystyle (k-1)^2+1,(k-1)^2+2,\dots,k^2.\)
Az első és az utolsó háromszög mindig sötét, így a \(\displaystyle k\)-adik sorban lévő sötét háromszögekbe írt számok egy \(\displaystyle k\) hosszúságú számtani sorozatot alkotnak, összegük
\(\displaystyle ((k-1)^2+1)+((k-1)^2+3)+\dots+k^2=\frac{((k-1)^2+1)+k^2}{2}\cdot k=k^3-k^2+k.\)
A sötét háromszögekbe írt számok összege így
$$\begin{multline*}\sum\limits_{k=1}^n (k^3-k^2+k)=\sum\limits_{k=1}^n k^3 - \sum\limits_{k=1}^n k^2 + \sum\limits_{k=1}^n k=\\ =\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(3n^2-n+4)}{12}. \end{multline*}$$Tehát a sötét háromszögekbe írt számok összege
\(\displaystyle \frac{n(n+1)(3n^2-n+4)}{12}.\)
Statistics:
163 students sent a solution. 3 points: 109 students. 2 points: 21 students. 1 point: 19 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022