Problem B. 5271. (November 2022)
B. 5271. \(\displaystyle ABC\) is an isosceles right angled triangle with the right angle lying at vertex \(\displaystyle C\). \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\) and \(\displaystyle C'\) are interior points of sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\), respectively, such that triangle \(\displaystyle A'B'C'\) is similar to \(\displaystyle ABC\).
Show that the midpoint of the side \(\displaystyle AB\), the midpoint of line segment \(\displaystyle A'B'\), and point \(\displaystyle C\) are collinear.
Proposed by E. Hajdu, Sopron and M. Hujter, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on December 12, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Helyezzük el a háromszöget a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (0;0)\), \(\displaystyle (2;0)\), \(\displaystyle (1;1)\). Az illeszkedési feltételek miatt az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (2a;0)\), \(\displaystyle (2b;2-2b)\), \(\displaystyle (c;c)\) alakban írhatóak alkalmas \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valósakkal. Ekkor a \(\displaystyle \overrightarrow{C'A'}\) vektor koordinátái \(\displaystyle (2a-c;-c)\), a \(\displaystyle \overrightarrow{C'B'}\) vektor koordinátái pedig \(\displaystyle (2b-c;2-2b-c)\). Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontjának koordinátái \(\displaystyle (1;0)\), az \(\displaystyle A'B'\) szakasz felezőpontjának koordinátái pedig \(\displaystyle (a+b;1-b)\).
Az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög pontosan akkor hasonló \(\displaystyle ABC\)-hez (az azonos betűzésnek megfelelően), ha a \(\displaystyle C'\) pont körüli \(\displaystyle +90^{\circ}\)os elforgatás a \(\displaystyle \overrightarrow{C'A'}\) vektort \(\displaystyle \overrightarrow{C'B'}\)-be viszi, azaz ha
\(\displaystyle (c;2a-c) = (2b-c;2-2b-c)\,. \)
Innen, a második koordináták egyenlősége alapján \(\displaystyle 2a-c = 2-2b-c\), azaz \(\displaystyle a+b\)=1. Tehát \(\displaystyle C\), valamint az \(\displaystyle A'B'\) és az \(\displaystyle AB\) szakaszok felezőpontja egyaránt illeszkedik az \(\displaystyle x=1\) egyenletű egyenesre.
Statistics:
104 students sent a solution. 3 points: 51 students. 2 points: 11 students. 1 point: 24 students. 0 point: 13 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022