Problem B. 5274. (November 2022)

B. 5274. The product of the positive integers \(\displaystyle a<b\) is a perfect square. Show that there is a positive integer \(\displaystyle x\) such that \(\displaystyle a\le x^2\le b\).

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle d\) az \(\displaystyle a\) szám négyzetmentes része, vagyis azoknak a prímeknek a szorzata, melyek \(\displaystyle a\) prímtényezős felbontásában páratlan kitevővel szerepelnek. Így egyrészt \(\displaystyle a/d\) négyzetszám, legyen \(\displaystyle a=dA^2\) (ahol \(\displaystyle A\) pozitív egész), másrészt mivel \(\displaystyle ab\) négyzetszám, ezért \(\displaystyle b\) négyzetmentes része szintén \(\displaystyle d\), vagyis \(\displaystyle b=dB^2\) alakú (ahol \(\displaystyle B\) pozitív egész).

Ha az \(\displaystyle [a,b]\) zárt intervallumba a feladat állításával ellentétben nem esne négyzetszám, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) két szomszédos négyzetszám közé esne, vagyis valamely \(\displaystyle n\) pozitív egész számra

\(\displaystyle n^2<a<b<(n+1)^2\)

lenne. Ekkor azonban

\(\displaystyle \frac{(n+1)^2}{n^2}>\frac{b}{a}=\frac{dB^2}{dA^2}=\frac{B^2}{A^2} \)

következne, amiből

\(\displaystyle \frac{n+1}{n}>\frac{B}{A}.\)

Azonban

\(\displaystyle 1+\frac1n=\frac{n+1}{n}>\frac{B}{A}\geq 1+\frac{1}{A}\)

alapján kapnánk, hogy \(\displaystyle n<A\), viszont \(\displaystyle dA^2=a<(n+1)^2\) miatt \(\displaystyle A<n+1\), vagyis ellentmondáshoz jutottunk. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. A megoldás második fele kicsit másképpen:
Elegendő megmutatni, hogy \(\displaystyle [\sqrt a]<[\sqrt{b}]\), ugyanis ekkor \(\displaystyle x=[\sqrt{b}]\) választással \(\displaystyle a\leq x^2\leq b\), hiszen \(\displaystyle \sqrt{a}<[\sqrt{b}]=x\).

Felhasználva, hogy \(\displaystyle a=dA^2,b=dB^2\) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt{b}-\sqrt{a}=\sqrt{dB^2}-\sqrt{dA^2}=\sqrt{d}(B-A)\geq 1,\)

hiszen \(\displaystyle d,A,B\) pozitív egészekre \(\displaystyle A<B\). Így készen vagyunk, hiszen \(\displaystyle \sqrt{b}-\sqrt{a}\geq 1\) alapján valóban \(\displaystyle [\sqrt{a}]<[\sqrt{b}]\).

Statistics:

101 students sent a solution.
5 points:	58 students.
4 points:	2 students.
3 points:	2 students.
2 points:	8 students.
1 point:	10 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022