Problem B. 5275. (November 2022)

B. 5275. Is there an irrational number \(\displaystyle a\) such that \(\displaystyle a^{\sqrt{3}}\) is rational?

Proposed by B. Hujter, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle \alpha = \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\) számot. Ha ez véletlen racionális szám volna, akkor \(\displaystyle \sqrt[3]{3}\) rögtön példát is szolgáltatna a feladatban keresett tulajdonságú irracionális számra.

Innentől tehát feltehetjük, hogy \(\displaystyle \alpha\) irracionális. Ekkor \(\displaystyle \alpha^{\sqrt{3}} = \left(\sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt[3]{3}^{3} = 3\), tehát racionális.

Tehát azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \sqrt[3]{3}\) és \(\displaystyle \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}}\) közül valamelyik teljesíti a feladat feltételét.

Statistics:

115 students sent a solution.
5 points:	103 students.
4 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2022