Problem B. 5279. (December 2022)

B. 5279. Two circles are drawn inside a right angle. One circle touches one of the arms at point \(\displaystyle A\), and the other circle touches the other arm at point \(\displaystyle B\). The circles also touch each other at point \(\displaystyle C\). What is the measure of \(\displaystyle \angle ACB\)?

Proposed by B. Bíró, Eger

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a derékszög csúcsa \(\displaystyle D\), a két kör középpontja \(\displaystyle O_1\), illetve \(\displaystyle O_2\). Két kör érintési pontja a centrálisukon helyezkedik el, tehát \(\displaystyle O_1,C\) és \(\displaystyle O_2\) egy egyenesbe esik.

Az \(\displaystyle AO_1C\) háromszög egyenlő szárú, az \(\displaystyle AC\) alapon fekvő szögei \(\displaystyle \alpha\) nagyságúak. Hasonlóan a \(\displaystyle BO_2C\) egyenlő szárú háromszögben a \(\displaystyle BC\) alapon fekvő szögek \(\displaystyle \beta\) nagyságúak.

Az \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szög nagysága \(\displaystyle 180^\circ-\alpha-\beta\). Ennek kiszámításához elegendő az \(\displaystyle \alpha+\beta\) meghatározása.

A \(\displaystyle DAO_1O_2B\) ötszögnek három szöge derékszög, két további szöge az egyenlő szárú háromszögekből \(\displaystyle 180^\circ-2\alpha\), illetve \(\displaystyle 180^\circ-2\beta\).

Az ötszög belső szögeinek összege \(\displaystyle (5-2)\cdot 180^\circ=540^\circ\), tehát

\(\displaystyle 3\cdot 90^\circ+180^\circ-2\alpha+180^\circ-2\beta=540^\circ.\)

Az egyenlet rendezése után:

\(\displaystyle 90^\circ=2(\alpha+\beta),\)

\(\displaystyle \alpha+\beta=45^\circ.\)

A keresett szög ennek megfelelően:

\(\displaystyle ACB\sphericalangle=180^\circ-\alpha-\beta=135^\circ.\)

Statistics:

148 students sent a solution.
3 points:	110 students.
2 points:	9 students.
1 point:	2 students.
0 point:	17 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022