Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5280. feladat (2022. december)

B. 5280. Legyenek \(\displaystyle a>2\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valós számok. Tekintsük a következő három állítást.

(1) Az \(\displaystyle ax^2 + bx + c = 0\) egyenletnek nincs valós megoldása.

(2) Az \(\displaystyle (a-1)x^2 + (b-1)x + (c-1) = 0\) egyenletnek 1 valós megoldása van.

(3) Az \(\displaystyle (a-2) x^2 + (b-2)x + (c-2) = 0\) egyenletnek 2 valós megoldása van.

\(\displaystyle a)\) Ha tudjuk, hogy az (1)-es és a (2)-es állítás igaz, akkor következtethetünk-e arra, hogy a (3)-as állítás is igaz?

\(\displaystyle b)\) Ha tudjuk, hogy a (2)-es és a (3)-as állítás igaz, akkor következtethetünk-e arra, hogy az (1)-es állítás is igaz?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Először is megjegyezzük, hogy \(\displaystyle a>2\) miatt mindhárom egyenlet másodfokú, így a valós megoldások száma 2, ha a diszkrimináns pozitív; 1, ha a diszkrimináns 0; 0, ha a diszkrimináns negatív.

A képletek egyszerűsítése érdekében vezessük be az \(\displaystyle A=a-1, B=b-1, C=c-1\) jelöléseket (ekkor tehát \(\displaystyle A>1\)). A három állítás a diszkriminánsokra vonatkozó feltételek alapján az alábbi módon írható:

(1) \(\displaystyle (B+1)^2-4(A+1)(C+1)<0\),

(2) \(\displaystyle B^2-4AC=0\),

(3) \(\displaystyle (B-1)^2-4(A-1)(C-1)>0\).

Az (1)-es és (3)-as állításban szereplő kifejezéseket kicsit átalakítva:

(1) \(\displaystyle (B^2-4AC)+(2B-4A-4C)<3\),

(3) \(\displaystyle (B^2-4AC) -(2B-4A-4C)>3\).

Ha (2) és (3) teljesül, akkor \(\displaystyle 2B-4A-4C<-3\), és így \(\displaystyle 2B-4A-4C<3\), vagyis (1) is teljesül. Tehát a b) esetben az a válasz, hogy igen, következtethetünk.

Ha (1) és (2) teljesül, akkor \(\displaystyle B^2-4AC=0\) és \(\displaystyle 2B-4A-4C<3\), és a kérdés az, következtethetünk-e arra, hogy \(\displaystyle 2B-4A-4C<-3\) is teljesül. Ha \(\displaystyle -3\leq 2B-4A-4C<3\), \(\displaystyle B^2-4AC=0\), \(\displaystyle A>1\) egyszerre fennállhatnak, akkor nem következtethetünk, különben pedig igen. A második feltétel szerint \(\displaystyle B=\pm2\sqrt{AC}\), vagyis azt kell eldöntenünk, léteznek-e a következő egyenlőtlenségeket kielégítő \(\displaystyle A>1,C\geq 0\) értékek:

\(\displaystyle -3/4\leq \pm \sqrt{AC}-A-C<3/4.\)

Ha igen, akkor csak \(\displaystyle B=\sqrt{AC}\) lehet, hiszen különben \(\displaystyle -\sqrt{AC}-A-C\leq -1\) lenne. Az egyenlőtlenségeket \(\displaystyle (-1)\)-gyel szorozva:

\(\displaystyle -3/4<A+C-\sqrt{AC}\leq 3/4.\)

Mivel \(\displaystyle A+C-\sqrt{AC}=\left(\sqrt{C}-\frac12 \sqrt{A}\right)^2+\frac34 A>\frac34\), ezért az egyenlőtlenség nem teljesülhet. Így az a) esetben is az a válasz, hogy igen, következtethetünk.

2. megoldás. Tegyük fel, hogy valamely \(\displaystyle A'>0,B',C'\) számokra az \(\displaystyle A'x^2+B'x+C'=0\) egyenletnek legfeljebb egy valós megoldása van. Mivel \(\displaystyle x\mapsto A'x^2+B'x+C'\) egy felfelé álló parabola, ezért ez azzal egyenértékű, hogy \(\displaystyle A'x^2+B'x+C'\geq 0\) minden valós \(\displaystyle x\)-re. Tekintsük az \(\displaystyle (A'+1)x^2+(B'+1)x+(C'+1)=0\) egyenletet. Mivel \(\displaystyle (A'+1)x^2+(B'+1)x+(C'+1)=(A'x^2+B'x+C')+(x^2+x+1)\geq 0 +(x+1/2)^2+3/4\geq 3/4\), ezért ennek az egyenletnek nincs valós megoldása.

Az előbbi észrevételt az \(\displaystyle A'=a-1,B'=b-1,C'=c-1\) értékekre alkalmazva kapjuk, hogy már önmagában a (2) állításból is következik az (1)-es, vagyis a b) esetben a következtetés helyes.

Az \(\displaystyle A'=a-2,B'=b-2,C'=c-2\) választás pedig mutatja, hogy amennyiben (3) nem teljesülne (vagyis legfeljebb egy valós megoldása lenne az \(\displaystyle (a-2)x^2+(b-2)x+(c-2)=0\) egyenletnek), akkor (2) sem teljesülhet, ugyanis az észrevétel alapján a (2)-ben szereplő egyenletnek nem lehetne valós megoldása. Tehát (2) teljesülése esetén (3)-nak is teljesülnie kell, vagyis az a) esetben is helyes a következtetés.


Statisztika:

A B. 5280. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai