Problem B. 5280. (December 2022)
B. 5280. Let \(\displaystyle a>2\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) be real numbers. Consider the three statements below.
(1) The equation \(\displaystyle ax^2 + bx + c = 0\) has no real solution.
(2) The equation \(\displaystyle (a-1)x^2 + (b-1)x + (c-1) = 0\) has 1 real solution.
(3) The equation \(\displaystyle (a-2) x^2 + (b-2)x + (c-2) = 0\) has 2 real solutions.
\(\displaystyle a)\) Given that statements (1) and (2) are true, can we conclude that statement (3) is also true?
\(\displaystyle b)\) Given that statements (2) and (3) are true, can we conclude that statement (1) is also true?
Proposed by B. Hujter, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Először is megjegyezzük, hogy \(\displaystyle a>2\) miatt mindhárom egyenlet másodfokú, így a valós megoldások száma 2, ha a diszkrimináns pozitív; 1, ha a diszkrimináns 0; 0, ha a diszkrimináns negatív.
A képletek egyszerűsítése érdekében vezessük be az \(\displaystyle A=a-1, B=b-1, C=c-1\) jelöléseket (ekkor tehát \(\displaystyle A>1\)). A három állítás a diszkriminánsokra vonatkozó feltételek alapján az alábbi módon írható:
(1) \(\displaystyle (B+1)^2-4(A+1)(C+1)<0\),
(2) \(\displaystyle B^2-4AC=0\),
(3) \(\displaystyle (B-1)^2-4(A-1)(C-1)>0\).
Az (1)-es és (3)-as állításban szereplő kifejezéseket kicsit átalakítva:
(1) \(\displaystyle (B^2-4AC)+(2B-4A-4C)<3\),
(3) \(\displaystyle (B^2-4AC) -(2B-4A-4C)>3\).
Ha (2) és (3) teljesül, akkor \(\displaystyle 2B-4A-4C<-3\), és így \(\displaystyle 2B-4A-4C<3\), vagyis (1) is teljesül. Tehát a b) esetben az a válasz, hogy igen, következtethetünk.
Ha (1) és (2) teljesül, akkor \(\displaystyle B^2-4AC=0\) és \(\displaystyle 2B-4A-4C<3\), és a kérdés az, következtethetünk-e arra, hogy \(\displaystyle 2B-4A-4C<-3\) is teljesül. Ha \(\displaystyle -3\leq 2B-4A-4C<3\), \(\displaystyle B^2-4AC=0\), \(\displaystyle A>1\) egyszerre fennállhatnak, akkor nem következtethetünk, különben pedig igen. A második feltétel szerint \(\displaystyle B=\pm2\sqrt{AC}\), vagyis azt kell eldöntenünk, léteznek-e a következő egyenlőtlenségeket kielégítő \(\displaystyle A>1,C\geq 0\) értékek:
\(\displaystyle -3/4\leq \pm \sqrt{AC}-A-C<3/4.\)
Ha igen, akkor csak \(\displaystyle B=\sqrt{AC}\) lehet, hiszen különben \(\displaystyle -\sqrt{AC}-A-C\leq -1\) lenne. Az egyenlőtlenségeket \(\displaystyle (-1)\)-gyel szorozva:
\(\displaystyle -3/4<A+C-\sqrt{AC}\leq 3/4.\)
Mivel \(\displaystyle A+C-\sqrt{AC}=\left(\sqrt{C}-\frac12 \sqrt{A}\right)^2+\frac34 A>\frac34\), ezért az egyenlőtlenség nem teljesülhet. Így az a) esetben is az a válasz, hogy igen, következtethetünk.
2. megoldás. Tegyük fel, hogy valamely \(\displaystyle A'>0,B',C'\) számokra az \(\displaystyle A'x^2+B'x+C'=0\) egyenletnek legfeljebb egy valós megoldása van. Mivel \(\displaystyle x\mapsto A'x^2+B'x+C'\) egy felfelé álló parabola, ezért ez azzal egyenértékű, hogy \(\displaystyle A'x^2+B'x+C'\geq 0\) minden valós \(\displaystyle x\)-re. Tekintsük az \(\displaystyle (A'+1)x^2+(B'+1)x+(C'+1)=0\) egyenletet. Mivel \(\displaystyle (A'+1)x^2+(B'+1)x+(C'+1)=(A'x^2+B'x+C')+(x^2+x+1)\geq 0 +(x+1/2)^2+3/4\geq 3/4\), ezért ennek az egyenletnek nincs valós megoldása.
Az előbbi észrevételt az \(\displaystyle A'=a-1,B'=b-1,C'=c-1\) értékekre alkalmazva kapjuk, hogy már önmagában a (2) állításból is következik az (1)-es, vagyis a b) esetben a következtetés helyes.
Az \(\displaystyle A'=a-2,B'=b-2,C'=c-2\) választás pedig mutatja, hogy amennyiben (3) nem teljesülne (vagyis legfeljebb egy valós megoldása lenne az \(\displaystyle (a-2)x^2+(b-2)x+(c-2)=0\) egyenletnek), akkor (2) sem teljesülhet, ugyanis az észrevétel alapján a (2)-ben szereplő egyenletnek nem lehetne valós megoldása. Tehát (2) teljesülése esetén (3)-nak is teljesülnie kell, vagyis az a) esetben is helyes a következtetés.
Statistics:
126 students sent a solution. 4 points: Ali Richárd, Aravin Peter, Baráth Borbála, Bedő Patrik, Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Csupor Albert Dezső, Czanik Pál, Czipó Áron, Diaconescu Tashi, Fekete Aron, Fülöp Csilla, Han Ziying, Hetyei Dániel, Inokai Ádám, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Nguyen Kim Dorka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Vigh 279 Zalán. 3 points: Bencz Benedek, Elekes Dorottya, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Keresztély Zsófia, Németh Norbert Marcell, Szakács Ábel, Tusnády Sámuel, Zömbik Barnabás. 2 points: 77 students. 1 point: 10 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022