Problem B. 5286. (January 2023)

B. 5286. What is the smallest positive integer \(\displaystyle n\) for which the number \(\displaystyle \underbrace{11\ldots1}_{n}\) (in decimal notation) is divisible by the number \(\displaystyle \underbrace{33\ldots3}_{100}\)?

(Brasilian problem)

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a csupa 1-esből álló \(\displaystyle k\)-jegyű számot \(\displaystyle A_k\). A feladat a legkisebb olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám meghatározása, melyre \(\displaystyle 3A_{100}\mid A_n\). Vegyük észre, hogy \(\displaystyle A_n\mid A_k\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle n\mid k\), ugyanis ha \(\displaystyle k=an+b\), ahol \(\displaystyle 0\leq b<n\), akkor

\(\displaystyle A_k=(10^{k-n}+10^{k-2n}+\dots+10^{k-an})A_n+A_b,\)

ahol \(\displaystyle b=0\) esetén \(\displaystyle A_0=0\). Világos, hogy \(\displaystyle k\mid n\), azaz \(\displaystyle b=0\) esetén \(\displaystyle A_n\mid A_k\), ha pedig \(\displaystyle 0<b<n\), akkor \(\displaystyle 0<A_b<A_n\), és így viszont \(\displaystyle A_n\nmid A_k\).

Ezek szerint \(\displaystyle A_{100}\) legkisebb csupa 1-esből álló többszörösei \(\displaystyle A_{100},A_{200},A_{300}\). Mivel \(\displaystyle A_{100}\) és \(\displaystyle A_{200}\) számjegyeinek összege rendre 100, illetve 200, azért nem oszthatók 3-mal, és így \(\displaystyle 3A_{100}\)-zal sem. Belátjuk, hogy \(\displaystyle A_{300}\) viszont osztható (\(\displaystyle 3A_{100}\))-zal. Korábbi észrevételünk alapján \(\displaystyle A_{300}=A_{100}\cdot (10^{200}+10^{100}+1)\), ahol a második tényező 3-mal osztható (hiszen számjegyeinek összege 3), és így valóban \(\displaystyle 3A_{100}\mid A_{300}\).

Tehát a legkisebb olyan pozitív egész \(\displaystyle n\), melyre \(\displaystyle 3A_{100}\mid A_{n}\), az \(\displaystyle n=300\).

Statistics:

124 students sent a solution.
3 points:	86 students.
2 points:	13 students.
1 point:	17 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2023