Problem B. 5287. (January 2023)

B. 5287. Two circles touch each other externally. The line passing through the centres of the circles intersects the circles again at points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\). The points of tangency on one of the common external tangents of the circles are \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\), respectively. Prove that the lines \(\displaystyle AP\) and \(\displaystyle BQ\) intersect on the common internal tangent of the circles.

Proposed by I.\(\displaystyle \,\)Á. Molnár, Miskolc

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle AP\) és \(\displaystyle BQ\) egyenes metszéspontját jelölje \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle CE\) és \(\displaystyle PQ\) egyenes metszéspontját \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle PAE\sphericalangle\) szöget pedig \(\displaystyle \alpha\).

Ismert, hogy két egymást kívülről érintő kör hatványvonala az érintési pontban a centrálisra állított merőleges, amely felezi a külső érintőszakaszt.

A \(\displaystyle k_1\) körben \(\displaystyle PO_1 E\sphericalangle\) és \(\displaystyle PAE\sphericalangle\) ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti és kerületi szög, ezért \(\displaystyle PO_1 E\sphericalangle=2PAE\sphericalangle=2\alpha\). Mivel a \(\displaystyle PO_1\) és \(\displaystyle QO_2\) szakaszok merőlegesek \(\displaystyle PQ\)-ra, azért \(\displaystyle PO_1 B\sphericalangle\) és \(\displaystyle QO_2 B\sphericalangle\) egyállású szögek, így \(\displaystyle QO_2 B\sphericalangle=2\alpha\). A \(\displaystyle BO_2 Q\) egyenlő szárú háromszögben \(\displaystyle O_2 BQ\sphericalangle =(180^{\circ}-QO_2B\sphericalangle)/2=90^{\circ}-\alpha\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BCA\sphericalangle=180^{\circ}-CAB\sphericalangle-ABC\sphericalangle=90^{\circ}\). A \(\displaystyle k_1\) körben a Thalész-tétel szerint \(\displaystyle APE\sphericalangle=90^{\circ}\), ezért \(\displaystyle CPE\sphericalangle=90^{\circ}\). Hasonlóan a \(\displaystyle k_2\) körben \(\displaystyle BQE\sphericalangle=90^{\circ}\) miatt \(\displaystyle CQE\sphericalangle=90^{\circ}\). Tehát \(\displaystyle PCQ\sphericalangle=CPE\sphericalangle=CQE\sphericalangle=90^{\circ}\), azaz a \(\displaystyle CPEQ\) négyszög téglalap, így \(\displaystyle PM=EM\). Ebből következik, hogy az \(\displaystyle EM\) szakasz érinti a \(\displaystyle k_1\) kört, következésképpen merőleges \(\displaystyle O_1O_2\)-re, ezért a \(\displaystyle k_2\) kört is érinti.

Statistics:

109 students sent a solution.
3 points:	85 students.
2 points:	4 students.
1 point:	14 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2023