Problem B. 5290. (January 2023)
B. 5290. Solve the following equation over the set of positive integers:
\(\displaystyle 3^n+4^n+\dots+{(n+2)}^n= {(n+3)}^n. \)
Proposed by T. Káspári, Paks
(6 pont)
Deadline expired on February 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle n=1,2,3,4\) esetekben végezzük el a számításokat:
\(\displaystyle 3^1<4^1,\)
\(\displaystyle 3^2+4^2=25=5^2,\)
\(\displaystyle 3^3+4^3+5^3=216=6^3,\)
\(\displaystyle 3^4+4^5+5^4+6^4= 2258<2401 =7^4.\)
Tehát \(\displaystyle n=2,3\) esetén teljesül az egyenlet, \(\displaystyle n=1,4\) esetén viszont nem, a bal oldal kisebb. Az \(\displaystyle n\) számra vonatkozó teljes indukcióval megmutatjuk, hogy \(\displaystyle n>4\) esetén sem teljesül az egyenlet, mert
\(\displaystyle 3^n+4^n+\ldots+(n+2)^n< (n+3)^n.\)
Az indukció kezdő lépése \(\displaystyle n=4\), most tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\geq 4\)-re
\(\displaystyle 3^n+4^n+\ldots+(n+2)^n< (n+3)^n,\)
célunk megmutatni, hogy
\(\displaystyle 3^{n+1}+4^{n+1}+\ldots+(n+3)^{n+1}< (n+4)^{n+1}\)
is fennáll. A binomiális tétel alapján
\(\displaystyle (n+4)^{n+1}=((n+3)+1)^{n+1}>(n+3)^{n+1}+(n+1)(n+3)^n+\binom{n+1}{2}(n+3)^{n-1},\)
ugyanis a jobb oldalon a binomiális tétel szerinti kifejtésben szereplő \(\displaystyle n+2\geq 6\) (pozitív) tag közül csak az első három összegét vettük.
Így az indukciós lépés igazolásához elég belátni, hogy
\(\displaystyle 3^{n+1}+4^{n+1}+\ldots+(n+2)^{n+1}< (n+1)(n+3)^n+\binom{n+1}{2}(n+3)^{n-1}.\)
Mivel \(\displaystyle n\geq 4\), ezért \(\displaystyle n+3\leq \binom{n+1}{2}\), hiszen \(\displaystyle 2\binom{n+1}{2}-2(n+3)=(n+1)n-2n-6=n^2-n-6=n(n-1)-6\geq 4\cdot 3-6=6\). Ezért elegendő igazolni, hogy
\(\displaystyle 3^{n+1}+4^{n+1}+\ldots+(n+2)^{n+1}< (n+2)(n+3)^n.\)
Ez pedig az indukciós feltételből egyszerűen adódik:
\(\displaystyle 3^{n+1}+4^{n+1}+\ldots+(n+2)^{n+1}=3\cdot 3^n+4\cdot 4^n+\ldots+(n+2)(n+2)^n\leq (n+2)(3^n+4^n+\ldots+(n+2)^n)<(n+2)(n+3)^n.\)
Vagyis azt kaptuk, hogy minden \(\displaystyle 4<n\)-re a bal oldal kisebb, mint a jobb oldal. Tehát az egyenlet valóban csak \(\displaystyle n=2,3\) esetén teljesül.
Statistics:
51 students sent a solution. 6 points: Aravin Peter, Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Fajszi Karsa, Fülöp Csilla, Gömze Norken, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Inokai Ádám, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Romaniuc Albert-Iulian, Sütő Áron, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Szilágyi Márton, Tarján Bernát, Teveli Jakab, Török Eszter Júlia, Varga Boldizsár, Wiener Anna, Zömbik Barnabás. 5 points: Balaskó Imola, Csilling Dániel, Czirják Márton Pál, Hosszu Noel, Jármai Roland, Op Den Kelder Ábel, Tran Dávid, Veres Dorottya. 4 points: 4 students. 3 points: 2 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2023