Problem B. 5298. (February 2023)

B. 5298. Solve the following system of equations over the set of real numbers:

$$\begin{align*} y+yx^2-2x & =0,\\ z+zy^2-2y & =0,\\ x+xz^2-2z & =0. \end{align*}$$

American problem

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletrendszernek triviális megoldása $\displaystyle x=y=z=0$, $\displaystyle x=y=z=1$ és $\displaystyle x=y=z=-1$. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.

Az első egyenletet átrendezve $\displaystyle 2x=(x^2+1)y$; mivel $\displaystyle x^2+1$ pozitív, láthatjuk, hogy $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ azonos előjelű. Ugyanezt a másik két egyenlettel is megtehetjük, így azt kapjuk, hogy $\displaystyle x,y,z$ csak azonos előjelű lehet. Elég tehát azt az esetet vizsgálnunk, ha $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ is pozitív, és azt megmutatni, hogy pozitív $\displaystyle x,y,z$ esetén az egyetlen megoldás az $\displaystyle x=y=z=1$.

Az $\displaystyle x$ és az $\displaystyle 1$ számtani és négyzetes közepeiből $\displaystyle x^2+1\ge2x$. Az első egyenletre alkalmazva $\displaystyle 2x=(x^2+1)y\ge 2xy$, tehát $\displaystyle y\le 1$. A többi egyenletre is alkalmazva,

$\displaystyle x,y,z \le 1. $

Ezt az első egyenletben az $\displaystyle yx^2$ tagra alkalmazva $\displaystyle 0=y+yx^2-2x\le y+x-2x=y-x$, tehát $\displaystyle x\le y$, és egyenlőség csak $\displaystyle x=y=1$ esetén áll fenn. Ugyanezt a másik két egyenletre is felírva, $\displaystyle y\le z$ (egyenlőség csak $\displaystyle y=z=1$-re), illetve $\displaystyle z\le x$ (egyenlőség csak $\displaystyle z=x=1$-re).

$\displaystyle x \le y\le z\le x $

csak úgy lehetséges, ha mindhárom egyenlőtlenségnél egyenlőség áll fenn, ami, mint láttuk, csak az $\displaystyle x=y=z=1$ értékekre lehetséges.

Megjegyzés. Tetszőleges $\displaystyle A$ számra az

$\displaystyle a_{n+1}=\dfrac{2}{\dfrac{a_n}{A}+\dfrac1{a_n}} $

rekurzió a Newton-féle gyökvonás egyik változata. Bármilyen pozitív $\displaystyle a_0$ kezdőértékből indulva, a sorozat a $\displaystyle \sqrt{A}$-hoz konvergál. Ha $\displaystyle a_0\ne\sqrt{A}$, akkor

$\displaystyle a_1<a_2<a_3<\ldots<\sqrt{A}, $

és

$\displaystyle \left|1-\frac{a_{n+1}}{\sqrt{A}}\right| < \left|1-\frac{a_n}{\sqrt{A}}\right|^2. $

Felismerhetjük, hogy a feladatban a három egyenlet valójában ugyanez a rekurzió az $\displaystyle A=1$ választással:

$\displaystyle y=\dfrac{2}{x+\dfrac1x}, \quad z=\dfrac{2}{y+\dfrac1y}, \quad x=\dfrac{2}{z+\dfrac1z}. $

Mivel a rekurzió egyetlen periodikus megoldása a konstans $\displaystyle 1$, az egyenletrendszer egyetlen pozitív megoldása is az $\displaystyle x=y=z=1$.

Statistics:

97 students sent a solution.

5 points: 69 students.

4 points: 12 students.

3 points: 7 students.

2 points: 4 students.

1 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023

97 students sent a solution.
5 points:	69 students.
4 points:	12 students.
3 points:	7 students.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?