Problem B. 5301. (February 2023)
B. 5301. Given that the sum of the reciprocals of ten distinct positive integers is 1, prove that each of them is smaller than \(\displaystyle 10^{1000}\).
Proposed by V. Vígh, Sándorfalva
(6 pont)
Deadline expired on March 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az általánosság korlátozása nélkül feltehetjük, hogy a tíz szám:
\(\displaystyle 1 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_{10}.\)
Rekurzívan belátjuk, hogy minden \(\displaystyle 1 \leq n \leq 10\) esetén \(\displaystyle a_n \leq 10^{2^{n-1}}\).
\(\displaystyle n = 1\) esetén
\(\displaystyle 1 = \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{10}} \leq \frac{10}{a_1},\)
tehát \(\displaystyle a_1 \leq 10 = 10^{2^{1-1}}\).
Ugyanennek a gondolatnak a finomított alkalmazásával működik a rekurziónk (indukciónk) is.
Legyen most \(\displaystyle 1 \leq n < 10\). Belátjuk, hogy ha \(\displaystyle a_k \leq 10^{2^{k-1}}\) teljesül minden \(\displaystyle i \in \{1,2,\ldots,k\}\) esetén, akkor \(\displaystyle a_{n+1} \leq 10^{2^{n}}\).
Tudjuk, hogy
\(\displaystyle 1 > \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{n}} = \frac{M}{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n}}, \)
ahol \(\displaystyle M\) egy pozitív egész, de az \(\displaystyle a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{j-1}\) szorzatnál kisebb szám. Tehát
$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}+\ldots+\frac{1}{a_{10}} &=& 1 - \left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right) = \frac{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n} - M}{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n} } \geq \frac{1}{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n}} \geq \\ &\geq& \frac{1}{10^1 \cdot 10^2 \cdot \ldots \cdot 10^{2^{n-1}}} = 10^{-(1+2+2^2+\ldots+2^{n-1})} = 10^{-(2^n-1)}. \end{eqnarray*}$$Mivel \(\displaystyle \frac{10}{a_{n+1}} > \frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}+\ldots+\frac{1}{a_{10}} \geq 10^{-(2^n-1)} \) ezért megkaptuk, hogy: \(\displaystyle a_{n+1} \leq 10 \cdot 10^{2^n-1} = 10^{2^n}\).
Az így belátott \(\displaystyle a_n \leq 10^{2^{n-1}}\) egyenlőtlenség \(\displaystyle n=10\) esetén a következő becslést adja: \(\displaystyle a_{10} \leq 10^{2^{9}} = 10^{512} < 10^{1000}\). Q.E.D.
Statistics:
19 students sent a solution. 6 points: Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Gömze Norken, Holló Martin, Kocsis 827 Péter, Szakács Ábel, Tarján Bernát, Varga Boldizsár. 4 points: 6 students. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023