Problem B. 5302. (March 2023)

B. 5302. Either \(\displaystyle +1\) or \(\displaystyle -1\) is written in every field of an \(\displaystyle 8 \times 8\) table so that the sum of all entries is 0. The sum of the numbers is calculated for each row and column. What is the maximum possible number of positive sums out of the 16 sums obtained in this way?

Based on the idea of M.\(\displaystyle \,\)E. Gáspár, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ahhoz, hogy egy sor összege pozitív legyen, legalább 5 darab \(\displaystyle (+1)\)-nek kell lennie a sorban. Mivel összesen 32 darab \(\displaystyle +1\) van a táblázatban, így legfeljebb 6 sor összege lehet pozitív (mivel \(\displaystyle 7 \cdot 5\) már több, mint 32). Ugyanígy belátható, hogy legfeljebb 6 oszlop összege lehet pozitív.

Az viszont megvalósítható – például az alábbi ábrán látható konstrukcióval – hogy 6 sor és 6 oszlop összege is pozitív legyen.

Tehát a feladatban vizsgált 16 összeg közül legfeljebb 12 lehet pozitív.

Statistics:

129 students sent a solution.
3 points:	92 students.
2 points:	9 students.
1 point:	3 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023