Problem B. 5304. (March 2023)

B. 5304. \(\displaystyle a)\) Are there positive integers \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) such that

\(\displaystyle a+b \mid a^2+b^2, \quad\text{but}\quad a+b \nmid a^4 + b^4? \)

\(\displaystyle b)\) Are there positive integers \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) such that

\(\displaystyle a+b \mid a^4+b^4, \quad\text{but}\quad a+b \nmid a^2+b^2? \)

Proposed by B. Hujter, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Nincsenek ilyen számok, mivel

\(\displaystyle a^4 + b^4 = (a^2-b^2) a^2 + (a^2+b^2) b^2 = (a+b)(a-b)a^2 + (a^2+b^2) b^2. \)

Az első összeadandó mindig osztható \(\displaystyle (a+b)\)-vel. Ha \(\displaystyle a+b \mid a^2+b^2\), akkor a második összeadandó, és így az összeg, \(\displaystyle a^4+b^4\) is osztható \(\displaystyle (a+b)\)-vel.

b) Vannak ilyen számok, például:

• \(\displaystyle a = 14\), \(\displaystyle b = 2\) esetén \(\displaystyle a + b = 16 = 2^4\), \(\displaystyle a^2 + b^2 = 200 = 2^3 \cdot 5^2\) míg \(\displaystyle a^4+b^4 = 38432 = 2^5 \cdot 1201\).
• Bármely \(\displaystyle n > 2\) egész szám esetén \(\displaystyle a = n^3-n\) és \(\displaystyle b = n\) jó, hiszen ekkor \(\displaystyle a+b = n^3\),
  \(\displaystyle a^2+b^2 = (n^3-n)^2 + n^2 = n^3(n^3-2n) + 2n^2\), itt mivel \(\displaystyle n > 2\), ezért \(\displaystyle n^3 \nmid 2n^2\);
  míg \(\displaystyle a^4+b^4 = (n^3-n)^4 + n^4 = n^4 \left( (n^2-1)^4 + 1) \right)\).

Megjegyzés: Egy lehetséges módszer a b) részhez alkalmas példa keresésére a következő.

Mivel \(\displaystyle a+b \mid a^2-b^2\) és \(\displaystyle a+b \mid a^4-b^4\), ezért \(\displaystyle a+b \nmid a^2+b^2 \Leftrightarrow a+b \nmid 2b^2\) és \(\displaystyle a+b \mid a^4+b^4 \Leftrightarrow a+b \mid 2b^4\).
Tehát \(\displaystyle b\) lehet egy tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész, ekkor az \(\displaystyle a+b\) összeg \(\displaystyle 2b^4\)-nek egy olyan osztója kell legyen, amely \(\displaystyle 2b^2\)-nek nem osztója.

Statistics:

116 students sent a solution.
4 points:	67 students.
3 points:	10 students.
2 points:	33 students.
1 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023