Problem B. 5305. (March 2023)

B. 5305. Let \(\displaystyle A_1\) and \(\displaystyle A_2\), respectively, denote the points lying closer to \(\displaystyle B\) and closer to \(\displaystyle C\) that divide side \(\displaystyle BC\) of a triangle \(\displaystyle ABC\) in a 1:2 ratio. Define points \(\displaystyle B_1\) and \(\displaystyle B_2\) on side \(\displaystyle CA\), and points \(\displaystyle C_1\) and \(\displaystyle C_2\) on side \(\displaystyle AB\) in an analogous way. Prove that the centroid of triangle \(\displaystyle ABC\) lies on the line joining the common points of the circumscribed circles of triangles \(\displaystyle A_1B_1C_1\) and \(\displaystyle A_2B_2C_2\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(4 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\triangle\) és az \(\displaystyle A_2B_2C_2\triangle\) egymás tükörképei az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle S\) súlypontjára. Mutassanak az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), stb. pontokba egy tetszőleges \(\displaystyle O\) vonatkoztatási pontból rendre az \(\displaystyle \mathbf a\), \(\displaystyle \mathbf b\), stb. vektorok. Jól ismert, hogy a súlypontba mutató vektor \(\displaystyle \mathbf s=(\mathbf a+\mathbf b +\mathbf c)/3\). Továbbá az osztópontba mutató vektorra vonatkozó formula szerint az összes harmadolópontba mutató vektor is kifejezhető a csúcsokba mutató vektorok segítségével, pl. \(\displaystyle \mathbf {a_1}=(2\mathbf b + \mathbf c)/3\) és \(\displaystyle \mathbf {b_2}=(\mathbf c + 2\mathbf a)/3\). Így az \(\displaystyle A_1B_2\) szakasz felezőpontjába mutató vektorra azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{\mathbf{a_1}+\mathbf{b_2}}{2}=\frac{\frac{2\mathbf b + \mathbf c}{3}+\frac{\mathbf c + 2\mathbf a}{3}}{2}=\frac{\mathbf a+\mathbf b +\mathbf c}{3}=\mathbf s.\)

Ebből következik, hogy az \(\displaystyle A_1B_2\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle S\). Hasonlóan megmutatható, hogy az \(\displaystyle A_2C_1\) és \(\displaystyle C_2B_1\) szakaszokat is felezi \(\displaystyle S\), ebből pedig adódik hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\triangle\) \(\displaystyle S\)-re vonatkozó tükörképe éppen az \(\displaystyle A_2B_2C_2\triangle\).

Így az \(\displaystyle S\)-re vonatkozó tükrözés az \(\displaystyle A_1B_1C_1\triangle\) körülírt körének \(\displaystyle O_1\) középpontját éppen az \(\displaystyle A_2B_2C_2\triangle\) körülírt körének \(\displaystyle O_2\) középpontjába viszi, azaz \(\displaystyle S\) rajta van \(\displaystyle O_1O_2\) szakaszfelező merőlegesén. Mivel a két kör sugara egyenlő, ezért a metszéspontok is illeszkednek \(\displaystyle O_1O_2\) szakaszfelező merőlegesére, amiből az állítás adódik.

Statistics:

68 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Anay Aggarwal, Aravin Peter, Balaskó Imola, Baráth Borbála, Bencz Benedek, Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Dam Soham, Diaconescu Tashi, Domján Olivér, Erdélyi Kata, Fehérvári Donát, Fodor Dóra, Hodossy Réka, Holló Martin, Inokai Ádám, Jármai Roland, Juhász-Molnár Erik, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Nagy 429 Leila, Németh Norbert Marcell, Nguyen Kim Dorka, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Zóra, Szakács Ábel, Szemlér Bálint, Varga Boldizsár, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás.
3 points:	Hosszu Noel, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Molnár István Ádám, Nagy 292 Korina, Sütő Áron, Tarján Bernát, Veres Dorottya.
2 points:	8 students.
1 point:	3 students.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023