Problem B. 5306. (March 2023)

B. 5306. We have a weighted (six-sided) die and a weighted coin. On one side of the coin there is one dot, and on the other side there are two dots. The expected value of the number of dots appearing on top is the same for the die and the coin. Show that if the die and the coin are thrown simultaneously then the probability of getting more dots on the coin than on the die is greater than the probability of getting more dots on the die than on the coin.

Proposed by V. Vígh, Sándorfalva

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X\) a kockával, \(\displaystyle Y\) pedig az érmével dobott pöttyök száma. A feltétel alapján a pöttyök számának várható értéke a két esetben egyenlő: \(\displaystyle E(X)=E(Y)\). A kockával dobott pöttyök számából kivonva az érmével dobott pöttyök számát \(\displaystyle -1\) és 5 közötti (egész) számokat kaphatunk, ennek az értéknek a várható értéke \(\displaystyle E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0\). Ezért, \(\displaystyle -1\leq i\leq 5\)-re \(\displaystyle p_i\)-vel jelölve annak a valószínűségét, hogy \(\displaystyle X-Y=i\) kapjuk, hogy

\(\displaystyle (E(X-Y)=)\sum\limits_{i=-1}^5 ip_i=0,\)

amiből

\(\displaystyle p_{-1}=p_1+2p_2+3p_3+4p_4+5p_5.\)

A bizonyítandó állítás pedig

\(\displaystyle p_{-1}>p_1+p_2+p_3+p_4+p_5,\)

ami az előző egyenlőtlenségből azonnal következik, hiszen \(\displaystyle p_2+2p_3+3p_4+4p_5>0\). Valóban, a \(\displaystyle p_2,p_3,p_4,p_5\) valószínűségek nyilvánvalóan nemnegatívak, továbbá például \(\displaystyle p_5>0\), hiszen pozitív valószínűséggel dobunk 6 pöttyöt a kockán és 1 pöttyöt az érmén.

Ezzel a bizonyítandó állítást igazoltuk.

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Anay Aggarwal, Aravin Peter, Balaskó Imola, Bodor Mátyás, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Hetyei Dániel, Hodossy Réka, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Hosszu Noel, Inokai Ádám, Juhász-Molnár Erik, Kalmár Botond, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Máté Lőrinc, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Molnár István Ádám, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Őrfi Ádám, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Suszter Bálint, Sütő Áron, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Teveli Jakab, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás.
4 points:	Kerekes András, Móricz Kármen, Schneider Dávid, Vigh 279 Zalán.
3 points:	1 student.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023