Problem B. 5307. (March 2023)

B. 5307. The area of an acute-angled triangle is \(\displaystyle T\), its inradius is \(\displaystyle r\), and its circumradius is \(\displaystyle R\). Show that

\(\displaystyle \sqrt{3}T \le {(r+R)}^2. \)

Proposed by L.\(\displaystyle \,\)B. Simon, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle a, b\) és \(\displaystyle c\), a szemben fekvő szögek rendre \(\displaystyle \alpha, \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). A háromszög területét írjuk fel a félkerület és a beírt kör sugarának szorzataként, továbbá az oldalak helyett használjuk az általánosított szinusztételt, azaz \(\displaystyle a=2R\sin \alpha, b=2R\sin\beta, c=2R\sin\gamma\). Ezek után a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldala:

\(\displaystyle \sqrt{3}T=\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)r=\sqrt{3}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)Rr.\tag{1}\)

A szinuszfüggvény a \(\displaystyle [0; \pi]\) intervallumban konkáv, így a Jensen-egyenlőtlenség alapján

\(\displaystyle \sin \alpha+\sin\beta+\sin \gamma\le 3\sin\left( \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3} \right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

Ezt betéve (1)-be:

\(\displaystyle \sqrt{3}T\le \frac{9}{2}Rr.\)

Be kell még bizonyítanunk, hogy \(\displaystyle \frac{9}{2}Rr\le (R+r)^2\).

Legyen \(\displaystyle R=kr\). Ezzel

\(\displaystyle (R+r)^2=(1+k)^2 r^2=\frac{(1+k)^2}{k} Rr=\left(\frac{1}{k}+2+k\right)Rr.\)

Az \(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\) függvény \(\displaystyle x>1\)-re szigorúan monoton növekedő és tudjuk a sugáregyenlőtlenség alapján, hogy \(\displaystyle k\ge 2\), tehát \(\displaystyle \frac{1}{k}+k+2 \ge \frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}\). Ezzel beláttuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt{3}T\le \frac{9}{2}Rr\le (R+r)^2.\)

Egyenlőség csak szabályos háromszög esetén áll fenn.

Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:	Anay Aggarwal, Balaskó Imola, Bodor Mátyás, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Gurzó Bence, Holló Martin, Inokai Ádám, Jármai Roland, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Melján Dávid Gergő, Őrfi Ádám, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Virág Rudolf, Zömbik Barnabás.
4 points:	Sütő Áron.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023