Problem B. 5311. (April 2023)

B. 5311. Is it true that if the sine of each angle of a triangle is rational then the cosine of each angle is rational, too?

Proposed by M. Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a szokásos módon a háromszög oldalait \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), a velük szemben levő szögeket rendre \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\).

A koszinusztétel szerint: \(\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\), azaz

\(\displaystyle \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac12 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} \right) = \frac12 \left( \frac{\sin \alpha }{ \sin \beta} + \frac{ \sin \beta }{ \sin \alpha} - \frac{ \sin \gamma }{ \sin \alpha} \cdot \frac{ \sin \gamma}{ \sin \beta} \right). \)

Az utolsó egyenlőségnél a szinusztételt használtuk. Ha a feladat feltétele (minden szög szinusza racionális) teljesül, akkor a jobb oldal racionális, így a bal oldalon \(\displaystyle \cos \gamma\) is. Ezzel beláttuk a háromszög tetszőlges szögére, hogy a koszinusza racionális, tehát a feladat állítása igaz.

Megjegyzés. Az állítás megfordítása nem teljesül, hiszen például a szabályos háromszög szögeire \(\displaystyle \cos(60^\circ) = \frac12\), racionális; de \(\displaystyle \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}2\), irracionális.

Statistics:

83 students sent a solution.
3 points:	74 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023