Problem B. 5312. (April 2023)
B. 5312. Let \(\displaystyle F_k\) denote the \(\displaystyle k\)th Fibonacci number (\(\displaystyle F_1=F_2=1\), \(\displaystyle F_{k+1}=F_k+F_{k-1}\)). Prove that
\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^nF_k^2F_{k+1}=F_nF_{n+1}F_{n+2} \)
for all positive integers \(\displaystyle n\).
Proposed by M. Bencze, Brassó
(3 pont)
Deadline expired on May 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az állítást \(\displaystyle n\)-re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle 2F_1^2F_2=2\cdot 1^2\cdot 1=2=1\cdot1\cdot 2=F_1F_2F_3\), vagyis az állítás teljesül. Az indukciós lépés igazolásához tegyük fel, hogy valamely \(\displaystyle n\) pozitív egész számra
\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^nF_k^2F_{k+1}=F_nF_{n+1}F_{n+2}.\)
Ekkor a
\(\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n+1}F_k^2F_{k+1}=F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}\)
egyenlőség igazolásához elég megmutatnunk, hogy
\(\displaystyle F_nF_{n+1}F_{n+2}+2F_{n+1}^2F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}.\)
A Fibonacci-sorozat rekurzióját használva:
$$\begin{multline*} F_nF_{n+1}F_{n+2}+2F_{n+1}^2F_{n+2}=F_{n+1}F_{n+2}(F_n+2F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}((F_n+F_{n+1})+F_{n+1})= \\ =F_{n+1}F_{n+2}(F_{n+2}+F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}, \end{multline*}$$vagyis az állítás \(\displaystyle (n+1)\)-re is teljesül.
Ezzel az állítást igazoltuk.
Statistics:
101 students sent a solution. 3 points: 88 students. 2 points: 11 students. 1 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023