 |
A B. 5313. feladat (2023. április) |
B. 5313. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle AC<AB<BC\). A körülírt kör középpontja \(\displaystyle O\), a magasságpont \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle AB\) oldal felezőmerőlegese az \(\displaystyle AM\) egyenest a \(\displaystyle P\) pontban, az \(\displaystyle OMP\) kör a \(\displaystyle BM\) egyenest másodszor az \(\displaystyle M\)-től különböző \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle BC\) egyenes érinti az \(\displaystyle ABQ\) kört.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja. Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle FP\), \(\displaystyle M\) pedig az \(\displaystyle AP\) szakasz belső pontja, és \(\displaystyle Q\) az \(\displaystyle AO\) és \(\displaystyle BM\) szakaszok metszéspontja, ami az \(\displaystyle AFP\) háromszög belsejébe esik.
Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei a szokásos módon \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), illetve \(\displaystyle \gamma\), a magasságok talppontjai rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) az ábra szerint. A háromszög hegyesszögű, és nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, ezért \(\displaystyle \beta<\gamma<\alpha<90^\circ\).
A kerületi és középponti szögek tételéből tudjuk, hogy \(\displaystyle AOF\sphericalangle = \tfrac12 AOB\sphericalangle = ACB\sphericalangle=\gamma\), így \(\displaystyle FAO\sphericalangle=90^\circ-\gamma\). Az \(\displaystyle ABA_1\) derékszögű háromszögből \(\displaystyle FAP\sphericalangle =BAA_1\sphericalangle =90^\circ-A_1BA\sphericalangle =90^\circ-\beta\), tehát
\(\displaystyle FAO\sphericalangle =90^\circ-\gamma <90^\circ-\beta =FAP\sphericalangle, \)
és így \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle FP\) szakasz belső pontja.
A feltétel szerint \(\displaystyle AC<BC\), ezért \(\displaystyle AC_1<BC_1\), így \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle AF\) szakasznak belső pontja. Az \(\displaystyle AFP\) és \(\displaystyle AC_1M\) hasonló háromszögekből látjuk, hogy \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AP\) szakasz belsejébe esik.
Legyen most \(\displaystyle Q_1\) az \(\displaystyle AO\) félegyenes és a \(\displaystyle BM\) szakasz metszéspontja. Mivel \(\displaystyle BAQ_1\sphericalangle =FAO\sphericalangle =90-\gamma >90-\alpha =B_1BA\sphericalangle =Q_1BA\sphericalangle\), az \(\displaystyle ABQ\) háromszögben \(\displaystyle AQ<BQ\), ezért a \(\displaystyle Q_1\) pont az \(\displaystyle FP\) egyenesnek az \(\displaystyle A\) felőli oldalára, vagyis az \(\displaystyle AO\) szakasz belsejébe esik. Tehát \(\displaystyle Q_1\) az \(\displaystyle AFP\) háromszög belsejébe esik, és az \(\displaystyle OPMQ_1\) négyszög konvex.
Mivel
\(\displaystyle Q_1MP\sphericalangle =BMA_1\sphericalangle =90^\circ-A_1BM =90^\circ-CBB_1\sphericalangle =ACB\sphericalangle =\gamma\sphericalangle =180^\circ-POQ_1\sphericalangle, \)
a \(\displaystyle OPMQ_1\) négyszög húrnégyszög, és \(\displaystyle Q=Q_1\).
Ugyanebből a húrnégyszögből
\(\displaystyle BQO\sphericalangle =180^\circ-OQM\sphericalangle =MPO\sphericalangle =APF\sphericalangle =90^\circ-FAP\sphericalangle =90^\circ-BAA_1\sphericalangle =A_1BA\sphericalangle =\beta. \)
Az \(\displaystyle ABQ\) körívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle AQM\sphericalangle=180^\circ-\beta\). A \(\displaystyle CB\) szakasz meghosszabbítása éppen ekkora szöget zár be az \(\displaystyle AB\) szakasszal, tehát a \(\displaystyle BC\) egyenes az \(\displaystyle ABQ\) kör \(\displaystyle B\)-ben húzott érintője.
Statisztika:
A B. 5313. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai