Problem B. 5313. (April 2023)

B. 5313. Triangle \(\displaystyle ABC\) is acute angled, and \(\displaystyle AC<AB<BC\). The centre of the circumscribed circle is \(\displaystyle O\), the orthocentre is \(\displaystyle M\). The perpendicular bisector of side \(\displaystyle AB\) intersects line \(\displaystyle AM\) at point \(\displaystyle P\), and the circle \(\displaystyle OMP\) intersects line \(\displaystyle BM\) again at a point \(\displaystyle Q\), different from \(\displaystyle M\). Prove that line \(\displaystyle BC\) is tangent to the circle \(\displaystyle ABQ\).

Proposed by G. Kós, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja. Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle FP\), \(\displaystyle M\) pedig az \(\displaystyle AP\) szakasz belső pontja, és \(\displaystyle Q\) az \(\displaystyle AO\) és \(\displaystyle BM\) szakaszok metszéspontja, ami az \(\displaystyle AFP\) háromszög belsejébe esik.

Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei a szokásos módon \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), illetve \(\displaystyle \gamma\), a magasságok talppontjai rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) az ábra szerint. A háromszög hegyesszögű, és nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, ezért \(\displaystyle \beta<\gamma<\alpha<90^\circ\).

A kerületi és középponti szögek tételéből tudjuk, hogy \(\displaystyle AOF\sphericalangle = \tfrac12 AOB\sphericalangle = ACB\sphericalangle=\gamma\), így \(\displaystyle FAO\sphericalangle=90^\circ-\gamma\). Az \(\displaystyle ABA_1\) derékszögű háromszögből \(\displaystyle FAP\sphericalangle =BAA_1\sphericalangle =90^\circ-A_1BA\sphericalangle =90^\circ-\beta\), tehát

\(\displaystyle FAO\sphericalangle =90^\circ-\gamma <90^\circ-\beta =FAP\sphericalangle, \)

és így \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle FP\) szakasz belső pontja.

A feltétel szerint \(\displaystyle AC<BC\), ezért \(\displaystyle AC_1<BC_1\), így \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle AF\) szakasznak belső pontja. Az \(\displaystyle AFP\) és \(\displaystyle AC_1M\) hasonló háromszögekből látjuk, hogy \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AP\) szakasz belsejébe esik.

Legyen most \(\displaystyle Q_1\) az \(\displaystyle AO\) félegyenes és a \(\displaystyle BM\) szakasz metszéspontja. Mivel \(\displaystyle BAQ_1\sphericalangle =FAO\sphericalangle =90^\circ-\gamma >90^\circ-\alpha =B_1BA\sphericalangle =Q_1BA\sphericalangle\), az \(\displaystyle ABQ_1\) háromszögben \(\displaystyle AQ_1<BQ_1\), ezért a \(\displaystyle Q_1\) pont az \(\displaystyle FP\) egyenesnek az \(\displaystyle A\) felőli oldalára, vagyis az \(\displaystyle AO\) szakasz belsejébe esik. Tehát \(\displaystyle Q_1\) az \(\displaystyle AFP\) háromszög belsejébe esik, és az \(\displaystyle OPMQ_1\) négyszög konvex.

Mivel

\(\displaystyle Q_1MP\sphericalangle =BMA_1\sphericalangle =90^\circ-A_1BM\sphericalangle =90^\circ-CBB_1\sphericalangle =ACB\sphericalangle =\gamma =180^\circ-POQ_1\sphericalangle, \)

a \(\displaystyle OPMQ_1\) négyszög húrnégyszög, és \(\displaystyle Q=Q_1\).

Ugyanebből a húrnégyszögből

\(\displaystyle BQO\sphericalangle =180^\circ-OQM\sphericalangle =MPO\sphericalangle =APF\sphericalangle =90^\circ-FAP\sphericalangle =90^\circ-BAA_1\sphericalangle =A_1BA\sphericalangle =\beta. \)

Az \(\displaystyle ABQ\) körívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle AQB\sphericalangle=180^\circ-\beta\). A \(\displaystyle CB\) szakasz meghosszabbítása éppen ekkora szöget zár be az \(\displaystyle AB\) szakasszal, tehát a \(\displaystyle BC\) egyenes az \(\displaystyle ABQ\) kör \(\displaystyle B\)-ben húzott érintője.

Statistics:

49 students sent a solution.
4 points:	Bodor Mátyás, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Varga Boldizsár.
3 points:	Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csupor Albert Dezső, Czanik Pál, Erdélyi Kata, Fehérvári Donát, Inokai Ádám, Kerekes András, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Nguyen Kim Dorka, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Tarján Bernát, Török Eszter Júlia, Tran Dávid, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel.
2 points:	21 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023