Problem B. 5316. (April 2023)

B. 5316. Prove that if \(\displaystyle 0<a,b<1\) then

\(\displaystyle (a+b-ab)\big(a^b+b^a\big) > a+b. \)

Proposed by M. Bencze, Brassó

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle 1\) és az \(\displaystyle a\) számokra, a \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle 1-b\) súlyokkal:

\(\displaystyle a+b-ab = b\cdot 1+(1-b)\cdot a \ge 1^b \cdot a^{1-b} = a^{1-b}; \)

\(\displaystyle a^b\)-vel szorozva,

\(\displaystyle (a+b-ab)a^b \ge a. \)

Egyenlőség csak akkor állna fenn, ha az \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle a\) számok, amelyeknek a közepeit vettük, egyenlők lennének. A feltétel miatt \(\displaystyle a<1\), így egyenlőség nem állhat fenn a két közép között. Tehát,

\(\displaystyle (a+b-ab)a^b > a. \)

Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) felcserélésével, ugyanígy kapjuk, hogy

\(\displaystyle (a+b-ab)b^a > b. \)

A két becslés összege éppen a bizonyítandó állítás.

Statistics:

15 students sent a solution.
6 points:	Bodor Mátyás, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Jármai Roland, Kocsis 827 Péter, Romaniuc Albert-Iulian, Szakács Ábel, Varga Boldizsár.
5 points:	Bencz Benedek.
3 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023