Problem B. 5318. (May 2023)

B. 5318. All positive divisors of a positive integer are written down on a sheet of paper. There are two numbers on the sheet that leave a remainder of 2 when divided by 8, and there are four numbers that leave a remainder of 4. How many numbers may there be on the sheet that leave a remainder of 6 when divided by 8?

Proposed by B. Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on June 12, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során osztóként végig a pozitív osztókra hivatkozunk majd. A feltétel szerint a számnak van 8-cal osztva 4 maradékot adó osztója (négy is), így a szám osztható 4-gyel. A 8-cal osztva 4 maradékot adó osztókat úgy kaphatjuk meg, hogy a páratlan osztók mindegyikét 4-gyel szorozzuk, tehát a számnak pontosan 4 páratlan osztója van. A 8-cal osztva 2 vagy 6 maradékot adó osztók pont azok, melyek 2-vel oszthatók, de 4-gyel már nem, így ezeket a páratlan osztókat 2-vel szorozva kaphatjuk meg. Összesen tehát négy ilyen osztó van, ezek közül kettő ad 8-cal osztva 2 maradékot, így a másik kettő pedig 8-cal osztva 6 maradékot ad. Tehát a papíron két olyan szám van, amely 8-cal osztva 6 maradékot ad.

Valóban létezik is ilyen szám, például a 60-nak a 8-cal osztva 4 maradékot adó osztói \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 20\), \(\displaystyle 60\), a 8-cal osztva 2 maradékot adó osztói \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 10\), a \(\displaystyle 8\)-cal osztva 6 maradékot adó osztói pedig \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 30\).

Megjegyzés. Mivel a számnak négy páratlan osztója van, így a legnagyobb páratlan osztója vagy \(\displaystyle p^3\) vagy \(\displaystyle pq\) alakú, ahol \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) különböző prímek, és maga a szám \(\displaystyle 2^kp^3\) vagy \(\displaystyle 2^kpq\), ahol \(\displaystyle k\geq 2\). Ha a páratlan rész \(\displaystyle p^3\), akkor a \(\displaystyle p\) prím 4-es maradéka 3 kell legyen, különben nem lenne 8-cal osztva 6 maradékot adó osztó. Ha a páratlan rész \(\displaystyle pq\) alakú, akkor pedig hasonló okokból \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) közül legalább az egyiknek 3 maradékot kell adnia 4-gyel osztva.

Statistics:

73 students sent a solution.
3 points:	56 students.
2 points:	11 students.
1 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023