Problem B. 5320. (May 2023)
B. 5320. Given that \(\displaystyle \frac{a_{n+3}}{a_{n+1}} + \frac{a_n}{a_{n+2}} = 2\) for each term of a sequence \(\displaystyle a_n\), and the first three terms are \(\displaystyle a_1=1\), \(\displaystyle a_2=4\) and \(\displaystyle a_3=2\), prove that \(\displaystyle \frac{2^{2021}}{a_{2023}}\) is an integer.
Proposed by A. Eckstein, Temesvár
(5 pont)
Deadline expired on June 12, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először teljes indukcióval belátjuk, hogy \(\displaystyle n\ge1\) esetén
| \(\displaystyle \dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{n}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Az \(\displaystyle n=1\) esetben ez igaz, mert \(\displaystyle \dfrac{a_3}{a_1}=\dfrac21\). Ha (1) igaz valamilyen \(\displaystyle n\)-re, akkor
\(\displaystyle \dfrac{a_{n+3}}{a_{n+1}} =2-\dfrac{a_n}{a_{n+2}} =2-\dfrac{n}{n+1} =\dfrac{n+2}{n+1}, \)
tehát (1) az \(\displaystyle n+1\) értékre is teljesül.
Ezután újabb indukcióval megmutatjuk, hogy \(\displaystyle k\ge1\) esetén
| \(\displaystyle \dfrac{2^{2k-1}}{a_{2k+1}} = \dbinom{2k-1}{k-1}. \) | \(\displaystyle (2) \) |
A \(\displaystyle k=1\) esetben ez teljesül, mert
\(\displaystyle \dfrac{2}{a_3} =1 =\dbinom10. \)
Ha (2) teljesül valamely \(\displaystyle k\)-ra, akkor teljesül \(\displaystyle (k+1)\)-re is, mert
\(\displaystyle \dfrac{2^{2k+1}}{a_{2k+3}} = \dfrac{2^{2k-1}}{a_{2k+1}} \cdot 4\frac{a_{2k+1}}{a_{2k+3}} = \dbinom{2k-1}{k-1} \cdot 4\dfrac{2k+1}{2k+2} = \dbinom{2k-1}{k+1} \cdot \dfrac{2k(2k+1)}{k(k+1)} = \dbinom{2k+1}{k+1}. \)
Ezzel (2)-t is igazoltuk.
A \(\displaystyle k=1011\) speciális esetben azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \dfrac{2^{2021}}{a_{2023}} =\dbinom{2021}{1010}\), ami valóban egész szám.
Statistics:
47 students sent a solution. 5 points: Aravin Peter, Bodor Mátyás, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Tran Dávid, Varga Boldizsár, Vigh 279 Zalán. 4 points: Bencz Benedek, Christ Miranda Anna, Gömze Norken, Hosszu Noel, Keresztély Zsófia, Kosztolányi Karina, Romaniuc Albert-Iulian, Szabó Imre Bence, Török Eszter Júlia, Tusnády Sámuel. 3 points: 8 students. 2 points: 6 students. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023