Problem B. 5321. (May 2023)

B. 5321. Show that the sum of the squares of the medians of a triangle is smaller than one and a half times the square of the semi-perimeter.

Proposed by L. Németh, Fonyód

(4 pont)

Deadline expired on June 12, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. E tanév októberében a B.5263. feladat megoldása során részletesen tárgyaltuk, hogy tetszőleges háromszögben a súlyvonalak négyzetösszege az oldalak négyzetösszegének háromnegyede.

\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).\)

(https://www.komal.hu/mf?a=jav_1fel&fid=2022052.)

Jelen esetben azt kell tehát belátnunk, hogy

\(\displaystyle s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)< \frac{3}{2}s^2=\frac{3}{8}(a+b+c)^2.\)

Mindkét oldalt szorozva \(\displaystyle \frac{8}{3}\)-dal a bizonyítandó egyenlőtlenség:

\(\displaystyle 2a^2+2b^2+2c^2 < (a+b+c)^2,\)

\(\displaystyle a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca.\)

Az eddigi lépéseink megfordíthatóak, elegendő ez utóbbi állítást igazolni. Ennek bizonyításához használjuk fel a háromszög-egyenlőtlenségeket.

\(\displaystyle a < b+c,\)

illetve mindkét oldalt \(\displaystyle a\)-val szorozva

\(\displaystyle a^2 < ab+ca.\)

Ugyanezzel a módszerrel kapjuk, hogy \(\displaystyle b^2 < bc+ab\), és \(\displaystyle c^2 < ca+bc\). Ez utóbbi három egyenlőtlenség megfelelő oldalainak összegével éppen a bizonyítandő egyenlőtlenséget kapjuk. Az egyenlőség esete még az elfajuló háromszögek esetén sem léphet fel, mert a háromszög- egyenlőtlenségek mindegyikében még akkor sem teljesülhet egyenlőség.

Statistics:

74 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Baráth Borbála, Bodor Mátyás, Bodor Noémi, Bővíz Dániel, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csonka Illés, Csornai-Metz Mátyás , Csupor Albert Dezső, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Duzmath Izabella, Fekete Aron, Fórizs Emma, Gömze Norken, Holló Martin, Horák Zsófia, Horváth 530 Mihály, Hosszu Noel, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Lovas Márton, Melján Dávid Gergő, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sütő Áron, Szabó Zóra, Szakács Ábel, Szakács Domonkos, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Török Eszter Júlia, Tran Dávid, Tusnády Sámuel, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel.
3 points:	10 students.
2 points:	10 students.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023