Problem B. 5323. (May 2023)

B. 5323. We are playing the following game: arbitrary real numbers from the interval \(\displaystyle [0, 100]\) are written on 2023 cards. Then the cards are dropped in an urn, and one card is pulled out at random. If the number on the card equals 2/3 of the mean of the numbers on all the cards then we will win as much money as the number on the card pulled out. Otherwise we do not win anything. What numbers should be written on the cards so that the expected value of the money gained is a maximum?

Proposed by B. Dura-Kovács, Garching

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kártyán szereplő számok átlagának \(\displaystyle 2/3\)-át jelölje \(\displaystyle m\), és tegyük fel, hogy ez \(\displaystyle k\) kártyán szerepel. Ekkor a nyereményünk várható értéke \(\displaystyle \frac{km}{2023}\), ennek maximumát keressük.

Mivel a számok átlaga \(\displaystyle 1,5m\), ezért a kártyákra írt számok összege \(\displaystyle 1,5\cdot 2023m=3034,5m\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle k\) kártyán az \(\displaystyle m\) szerepel, a többi kártyán sem szerepelhet 100-nál nagyobb szám, így szükségképpen

\(\displaystyle 1,5\cdot2023m\leq km+(2023-k)\cdot 100,\)

amiből

\(\displaystyle m\leq \frac{(2023-k)\cdot 100}{3034,5-k}.\)

Itt egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a másik \(\displaystyle 2023-k\) kártyán a 100-as szám szerepel.

Az eddigiekből tehát

\(\displaystyle \frac{km}{2023}\leq \frac{k(2023-k)\cdot 100}{2023(3034,5-k)},\)

és itt minden \(\displaystyle k\)-ra egyenlőség is lehetséges, így azt kell meghatároznunk, mely \(\displaystyle k\in \{0,1,2,\dots,2023\}\) esetén lesz a kapott felső becslés értéke maximális. Vezessük be az \(\displaystyle f(k):=\frac{k(2023-k)}{3034,5-k}\) jelölést, \(\displaystyle f(k)\) maximumát keressük \(\displaystyle \{0,1,2,\dots,2023\}\) halmazon. Ehhez először átalakítjuk \(\displaystyle f(k)\)-t:

\(\displaystyle f(k)=\frac{k(2023-k)}{3034,5-k}=\frac{k(3034,5-k)}{3034,5-k}-\frac{1011,5k}{3034,5-k}=k-1011,5\cdot\frac{k}{3034,5-k}.\)

Vizsgáljuk \(\displaystyle f(k+1)-f(k)\) előjelét:

\(\displaystyle f(k+1)-f(k)=1-1011,5\cdot \left( \frac{k+1}{3033,5-k} -\frac{k}{3034,5-k} \right),\)

ahol

\(\displaystyle \frac{k+1}{3033,5-k} -\frac{k}{3034,5-k}=\frac{(k+1)(3034,5-k)-k(3033,5-k)}{(3033,5-k)(3034,5-k)}=\frac{3034,5}{(3033,5-k)(3034,5-k)}.\)

Vagyis

\(\displaystyle f(k+1)-f(k)=1-\frac{1011,5\cdot 3034,5}{(3033,5-k)(3034,5-k)},\)

itt a nevező a \(\displaystyle [0,2023]\) intervallumon monoton csökkenő. Például a \(\displaystyle (3033,5-k)(3034,5-k)=1011,5\cdot 3034,5\) másodfokú egyenletet megoldva kapjuk, hogy \(\displaystyle f(k+1)-f(k)\) előjele \(\displaystyle k=1282\)-ra még pozitív, majd \(\displaystyle k=1283\)-ra már negatív. (Az egyenlet \(\displaystyle [0,2023]\)-ba eső gyöke körülbelül \(\displaystyle 1282,03\).) Így \(\displaystyle f(k)\) értéke \(\displaystyle k=0\)-tól \(\displaystyle k=1283\)-ig szigorúan monoton növekedő, majd innen \(\displaystyle k=2023\)-ig szigorúan monoton csökkenő. (Csak az egész helyeket tekintve \(\displaystyle [0,2023]\)-ban.)

Így \(\displaystyle f(k)\) értéke \(\displaystyle k=1283\)-ra lesz maximális. Tehát a nyereményünk várható értéke pontosan akkor lesz a legnagyobb, ha 1283 kártyára az

\(\displaystyle m=\frac{(2023-1283)\cdot 100}{3034,5-1283}=\frac{74000}{1751,5}=\frac{148000}{3503}\approx 42,25\)

számot írjuk, a többi, 740 kártyára pedig a 100-at. Ekkor a nyeremény várható értéke

\(\displaystyle \frac{km}{2023}=\frac{1283\cdot148000}{2023\cdot 3503}=\frac{189884000}{7086569}\approx 26,79.\)

Statistics:

45 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Balaskó Imola, Bodor Mátyás, Csilling Dániel, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Gömze Norken, Guthy Gábor, Hodossy Réka, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Melján Dávid Gergő, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szakács Ábel, Szanyi Attila, Tarján Bernát, Teveli Jakab, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Zömbik Barnabás.
4 points:	Chrobák Gergő, Domján Olivér, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Op Den Kelder Ábel, Petrányi Lilla, Varga Boldizsár, Virág Lénárd Dániel.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023