Problem B. 5324. (May 2023)

B. 5324. Arthur and Barbara are playing the following game: they take turns in writing down a digit, proceeding left to right, until they obtain a 2023-digit number. Arthur starts the game, with a nonzero digit. Arthur will win if the resulting number has a divisor of the form \(\displaystyle 1\overbrace{7\ldots7}^{\text{\(\displaystyle n\) pcs 7}}\) (\(\displaystyle n\ge 1\)). Otherwise Barbara wins. Which of them has a winning strategy?

Based on the idea of G. Kós, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on June 12, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A játék végén kapott szám 2023-jegyű, így a \(\displaystyle 17,177,\dots\) alakú számok közül összesen 2022 jön szóba lehetséges osztóként: azok, melyekben a 7-esek száma \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), ... vagy \(\displaystyle 2022\). Legyen \(\displaystyle a_k:=1\underbrace{7\dots 7}_{k}\).

Azt fogjuk igazolni, hogy Borinak van nyerő stratégiája. Ő határozza meg a végül kapott 2023-jegyű szám jobbról számított 2., 4., ..., 2022. jegyeit (épp fordított sorrendben). Belátjuk, hogy a jobbról \(\displaystyle 2k\)-adik jegy megválasztásával el tudja érni, hogy \(\displaystyle a_{2k}\) és \(\displaystyle a_{2k-1}\) ne lehessen osztója a számnak. Amikor ezt a jegyet megválasztja, már (balról számítva az első) \(\displaystyle 2023-2k\) jegy rögzítve van, az ezek által alkotott szám legyen \(\displaystyle A\). Bárhogyan is folytatják, a végső szám biztosan az \(\displaystyle I:=[A\cdot 10^{2k},(A+1)\cdot 10^{2k})\) interallumba fog esni.

Mivel \(\displaystyle a_{2k}>10^{2k}\), így az \(\displaystyle I\) intervallumba az \(\displaystyle a_{2k}\) számnak legfeljebb egy többszöröse esik, hiszen \(\displaystyle I\) hossza \(\displaystyle 10^{2k}\).

Ehhez hasonlóan az \(\displaystyle a_{2k-1}\) szám \(\displaystyle I\)-be eső többszöröseinek száma legfeljebb \(\displaystyle \left \lceil \frac{10^{2k}}{a_{2k-1}} \right\rceil=6\). (A kérdéses felső egészrész azért 6, mert \(\displaystyle 6\cdot a_{2k-1}>6\cdot 17\cdot 10^{2k-2}=102\cdot 10^{2k-2}>10^{2k}\), ugyanakkor \(\displaystyle 5\cdot a_{2k-1}<5\cdot 2\cdot 10^{2k-1}=10^{2k}\).)

Tehát \(\displaystyle I\)-be az \(\displaystyle a_{2k-1}\) és \(\displaystyle a_{2k}\) számok többszörösei közül összesen legfeljebb 7 esik. Bori meg tudja úgy választani a jobbról számított \(\displaystyle 2k\)-adik jegyet, hogy ezen legfeljebb hét többszörös mindegyikének jobbról számított \(\displaystyle 2k\)-adik jegyétől különböző legyen. Ezzel garantálja, hogy a későbbi lépésektől függetlenül a játék végén kapott szám nem lesz osztható \(\displaystyle a_{2k}\) és \(\displaystyle a_{2k-1}\) egyikével sem. Mivel ezt sorban \(\displaystyle k=1011,1010,\dots,1\) esetén meg tudja tenni, így a szám \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_{2022}\) egyikével sem lesz osztható, és ezért Bori nyer.

Tehát Borinak van nyerő stratégiája.

Statistics:

17 students sent a solution.
6 points:	Bodor Mátyás, Csonka Illés, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Holló Martin, Horváth 530 Mihály, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Szakács Ábel, Tarján Bernát, Varga Boldizsár, Veres Dorottya.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023