Problem B. 5326. (September 2023)

B. 5326. At the end of a meeting with English and Hungarian participants, everyone bid farewell to everyone else, one by one. The English participants said ``Goodbye'', and the Hungarian participants said ``Viszlát'' to everyone else. There were 198 occurrences of ``Goodbye'' and 308 occurrences of ``Viszlát''. How many participants of each nationality were there?

Proposed by B. Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Jelölje \(\displaystyle N\) az összes résztvevő számát (angolok és magyarok együtt). Minden résztvevő pontosan egyszer köszönt az összes többi résztvevőnek, ezért:

\(\displaystyle N(N-1) = 198 + 308. \)

Az \(\displaystyle N^2-N-506 = 0\) másodfokú egyenlet egyetlen pozitív megoldása \(\displaystyle N=23\), tehát összesen ennyien vettek részt a találkozón.

Minden angol \(\displaystyle N-1=22\) másik résztvevőnek mondott ,,Goodbye!''-t, így \(\displaystyle 198/22 = \) 9 angol, és \(\displaystyle 23-9=\) 14 magyar vett részt a találkozón.

2. megoldás. Jelölje a találkozón résztvevő angolok számát \(\displaystyle a\), a magyarok számát \(\displaystyle m\), ekkor felírható, hogy: a (a+m - 1) = 198,
m (a+m - 1) = 308. Látható, hogy \(\displaystyle a+m-1\) osztja a 198-at és a 308-at, tehát a legnagyobb közös osztójukat, a 22-t is.

Ha \(\displaystyle a+m-1 \leq 17\) lenne, akkor mivel \(\displaystyle m \leq a+m-1\) (hiszen \(\displaystyle a\) pozitív egész), ezért \(\displaystyle m (a+m - 1) \leq 17^2 = 289 < 308\) lenne.

Tehát \(\displaystyle a+m-1\) osztója 22-nek és 17-nél nagyobb, így csak \(\displaystyle a+m-1=22\) lehetséges.

Így \(\displaystyle a \cdot 22 = 198\) és \(\displaystyle m \cdot 22 = 308\), azaz \(\displaystyle a = 9\) és \(\displaystyle m = 14\).

Statistics:

281 students sent a solution.
3 points:	225 students.
2 points:	13 students.
1 point:	7 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	28 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023