Problem B. 5327. (September 2023)

B. 5327. The heights of triangle \(\displaystyle ABC\) are \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) and \(\displaystyle m_c\). Suppose that one can construct a triangle having sides \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) and \(\displaystyle m_c\), and the heights of that triangle are \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\). Show that one can again construct a triangle having sides \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\).

Proposed by V. Vígh, Sándorfalva

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalait a szokásos módon \(\displaystyle a\)-val, \(\displaystyle b\)-vel és \(\displaystyle c\)-vel jelölve felírhatjuk háromféleképpen a kétszeres területét: \(\displaystyle 2T=am_a=bm_b=cm_c\).

Ugyanezt a gondolatot megismételhetjük az \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\) oldalakkal szerkesztett háromszögre is, amelynek területét jelöljük \(\displaystyle T_1\)-gyel: \(\displaystyle 2T_1=m_ax=m_by=m_cz\).

A két egyenlőségláncolat megfelelő elemeit elosztva egymással azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac {T_1}{T}=\frac xa =\frac yb= \frac zc.\)

Ebből következik, hogy ha az \(\displaystyle ABC\) háromszögre egy \(\displaystyle \lambda=T_1/T\) arányú hasonlósági transzformációt alkalmazunk, akkor egy olyan háromszöget kapunk, aminek oldalai éppen \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\), ami miatt \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) oldalakkal valóban szerkeszthető háromszög.

Megjegyzés. Folklór feladat, hogy szerkesszünk háromszöget, ha adott a három magassága. Az elterjedt módszer felhasználja a feladat megoldásában is kimutatott tényt: az \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\) oldalakkal szerkesztett háromszög magasságaiból szerkesztett háromszög hasonló a keresetthez. A szerkesztés (vázlatos) menete:

1. Szerkesszünk \(\displaystyle \Delta_1\) háromszöget \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\) oldalakkal.
2. Szerkesszük meg \(\displaystyle \Delta_1\) háromszög \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) magasságait.
3. Szerkesszünk \(\displaystyle \Delta_2\) háromszöget \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) oldalakkal. Jelölje \(\displaystyle \Delta_2\)-ben az \(\displaystyle x\)-hez tartozó magasságot \(\displaystyle m\).
4. Nagyítsuk ki \(\displaystyle \Delta_2\) háromszöget \(\displaystyle m_a/m\) arányban.

Vegyük észre, hogy ez az eljárás a folklór szerkesztési feladatra hiányos! Ugyanis az \(\displaystyle m_a\), \(\displaystyle m_b\) és \(\displaystyle m_c\) oldalakkal nem biztos, hogy szerkeszthető háromszög; annak ellenére, hogy a feladatnak van megoldása. (Vegyük például az egyenlő szárú háromszöget, aminek oldalai \(\displaystyle 1000\), \(\displaystyle 1000\) és \(\displaystyle 1\). Ennek magasságai körülbelül \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 1000\) hosszúak, nyilvánvalóan nem teljesítik a háromszög-egyenlőtlenséget.)

Egy lehetséges helyes, és mindig működő módszer, ha \(\displaystyle 1/m_a\), \(\displaystyle 1/m_b\) és \(\displaystyle 1/m_c\) oldalakkal szerkesztünk háromszöget, és azt nagyítjuk ki megfelelő arányban.

Statistics:

119 students sent a solution.
4 points:	85 students.
3 points:	10 students.
2 points:	6 students.
1 point:	5 students.
0 point:	7 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023