Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 5329. (September 2023)

B. 5329. A fair die is rolled. The game terminates when we decide to stop or a number 1 is rolled. The award is the value of the last roll. Is there a strategy to achieve an expected award of at least 4?

Proposed by P.\(\displaystyle \,\)P. Pach, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljuk azokat a stratégiákat, amikor választunk egy \(\displaystyle 2\leq k\leq 6\) számot, és akkor döntünk úgy, hogy megállunk, ha az általunk dobott szám értéke legalább \(\displaystyle k\). Világos, hogy 1 valószínűséggel véget fog érni a játék, hiszen annak a valószínűsége, hogy az első \(\displaystyle n\) dobás között nincs 1-es \(\displaystyle \left(\frac56\right)^n\), ami 0-hoz tart. Tehát a játék 1 valószínűséggel véget ér, és a fenti stratégiát követve az utolsó dobás eredménye pedig \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle k\), \(\displaystyle k+1\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle 6\) valamelyike lehet (\(\displaystyle 8-k\)-féle lehetőség.)

Mivel a dobókocka szabályos, így az utolsó dobás egyforma valószínűséggel kerül ki ezen \(\displaystyle 8-k\) lehetőség közül, tehát a stratégia alkalmazása mellett a nyeremény várható értéke \(\displaystyle \frac{1+k+(k+1)+\dots+6}{8-k}\).

Ennek numerikus értéke

  • \(\displaystyle k=6\) esetén \(\displaystyle \frac{1+6}{2}=3,5\),
  • \(\displaystyle k=5\) esetén \(\displaystyle \frac{1+5+6}{3}=4\),
  • \(\displaystyle k=4\) esetén \(\displaystyle \frac{1+4+5+6}{4}=4\),
  • \(\displaystyle k=3\) esetén \(\displaystyle \frac{1+3+4+5+6}{5}=3,8\),
  • \(\displaystyle k=2\) esetén \(\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5\).

Így mind \(\displaystyle k=4\), mind \(\displaystyle k=5\) választással olyan stratégiát kapunk, melyet követve a nyeremény várható értéke legalább 4. (Valójában pontosan 4.)

Tehát létezik ilyen stratégia.

Statistics:

172 students sent a solution.
4 points:101 students.
3 points:20 students.
2 points:11 students.
1 point:9 students.
0 point:14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023