Problem B. 5331. (September 2023)

B. 5331. Prove that it is possible to cover a regular tetrahedron of unit length with two spheres of unit diameter.

Proposed by V. Vígh, Sándorfalva

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a tetraéder csúcsait \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\); az \(\displaystyle XY\) él felezőpontja legyen \(\displaystyle F_{XY}\). Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle F_{AB}\) és \(\displaystyle F_{CD}\) középpontú, \(\displaystyle 1/2\) sugarú gömbök lefedik a tetraédert.

Először is vegyük észre, hogy az \(\displaystyle F_{AC}\), \(\displaystyle F_{AD}\), \(\displaystyle F_{BC}\) és \(\displaystyle F_{BD}\) pontok egy síkban vannak, mivel az \(\displaystyle F_{AC}F_{AD}\) és \(\displaystyle F_{BC}F_{BD}\) szakaszok párhuzamosak a \(\displaystyle CD\) éllel, hiszen középvonalak az \(\displaystyle ACD\) ill. \(\displaystyle BCD\) háromszögekben. (Valójában az is jól ismert, hogy \(\displaystyle F_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) négyzet, de erre a tényre nem lesz szükségünk.) Ezért az \(\displaystyle F_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) sík a tetraédert két konvex poliéderre darabolja: \(\displaystyle ABF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\)-re, és \(\displaystyle CDF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\)-re.

Most figyeljük meg, hogy

\(\displaystyle F_{AB}F_{AC}=F_{AB}F_{AD}=F_{AB}F_{BC}=F_{AB}F_{BD}=\frac 12=F_{CD}F_{AC}=F_{CD}F_{AD}=F_{CD}F_{BC}=F_{CD}F_{BD},\)

mivel mind a nyolc szakasz középvonala a tetraéder valamely lapjának. Ebből következik, hogy az \(\displaystyle F_{AB}\) középpontú, \(\displaystyle 1/2\) sugarú gömb tartalmazza az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F_{AC}\), \(\displaystyle F_{AD}\), \(\displaystyle F_{BC}\) és \(\displaystyle F_{BD}\) pontok mindegyikét, ezért az \(\displaystyle ABF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) konvex burkot is. Hasonlóan, az \(\displaystyle F_{CD}\) középpontú, \(\displaystyle 1/2\) sugarú gömb tartalmazza a \(\displaystyle CDF_{AC}F_{AD}F_{BC}F_{BD}\) konvex poliédert. Mivel a két poliéder együtt kiadja \(\displaystyle ABCD\)-t, ezért a két gömb együtt lefedi a tetraédert. Ezt akartuk bizonyítani.

Statistics:

120 students sent a solution.
5 points:	101 students.
3 points:	1 student.
2 points:	5 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023