Problem B. 5333. (September 2023)

B. 5333. The foot of the altitude drawn from vertex \(\displaystyle A\) of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\) is \(\displaystyle T_A\). The ray drawn from vertex \(\displaystyle A\) through the centre \(\displaystyle O\) of the circumcircle intersects side \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle R_A\). Denote the midpoint of line segment \(\displaystyle AR_A\) by \(\displaystyle F_A\). Starting from vertices \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\), obtain the points \(\displaystyle T_B\), \(\displaystyle R_B\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle T_C\), \(\displaystyle R_C\), \(\displaystyle F_C\) in the same way. Show that the lines \(\displaystyle T_AF_A\), \(\displaystyle T_BF_B\) and \(\displaystyle T_CF_C\) are concurrent.

Proposed by L.\(\displaystyle \,\)B. Simon, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt fogjuk bizonyítani, hogy a \(\displaystyle T_AF_A, ~T_BF_B, ~T_CF_C\) egyenesek mindegyike átmegy a Feuerbach-kör \(\displaystyle F\) középpontján, a három egyenes ebben a pontban metszi egymást.

Ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az állítás egyébként is nyilvánvaló, a három egyenes a szimmetriatengelyen metszi egymást. Feltehetjük tehát a továbbiakban, hogy a háromszögnek nincs két egyforma szöge. Vizsgáljuk a \(\displaystyle T_AF_A\) egyenest. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük azt is, hogy \(\displaystyle \beta > \gamma\). Az ábra jelölései a feladat szövegének megfelelőek.

A \(\displaystyle BAT_A\sphericalangle=90^\circ-\beta\), továbbá a kerületi és középponti szögek tétele miatt \(\displaystyle AOC\sphericalangle=2\beta\). Ebből az \(\displaystyle AOC\) egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei szintén \(\displaystyle OAC\sphericalangle=OCA\sphericalangle=90^\circ-\beta\) nagyságúak.

Számoljuk ki ezek alapján, felhasználva a háromszög szögösszegét is, a \(\displaystyle T_AAO\) szöget:

\(\displaystyle T_AAO\sphericalangle=\alpha-(90^\circ-\beta)-(90^\circ-\beta)=\alpha+2\beta-180^\circ=\alpha+2\beta-\alpha-\beta-\gamma=\beta-\gamma.\)

Az \(\displaystyle AT_AR_A\) derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az \(\displaystyle F_A\) pont. Így az \(\displaystyle AF_AT_A\) egyenlő szárú háromszögben az \(\displaystyle A\)-nál és \(\displaystyle T_A\)-nál fekvő szögek megegyeznek, \(\displaystyle AT_AF_A\sphericalangle=\beta-\gamma\).

A továbbiakban azt fogjuk igazolni, hogy az \(\displaystyle AT_AF\) szög is \(\displaystyle \beta-\gamma\), azaz az \(\displaystyle F\) pont rajta van a \(\displaystyle T_AF_A\) egyenesen.

Ezen az ábrán a feladat szövegében is szereplő jelölések mellett \(\displaystyle M\)-mel jelöltük a háromszög magasságpontját, \(\displaystyle D\)-vel a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontját, \(\displaystyle M_A\)-val a magasságpontnak \(\displaystyle D\)-re vonatkozó tükörképét. Két ismert tényre támaszkodunk. Egyrészt a magasságpontnak a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe az \(\displaystyle ABC\) körülírt körének \(\displaystyle A\) csúccsal átellenes pontja, \(\displaystyle M_A\). Másrészt a Feuerbach-kör átmegy az oldalfelezőpontokon, pl. \(\displaystyle D\)-n, továbbá a magasságpontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszok felezőpontjain, pl. az ábrán a \(\displaystyle K_A\) pont. Tekintsük először az \(\displaystyle AMM_A\) háromszöget. Ebben a háromszögben az előbbiek miatt az \(\displaystyle AM_A\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) körülírt körének átmérője, \(\displaystyle K_AD\) pedig középvonal. A \(\displaystyle K_AD\) középvonal párhuzamos és feleakkora, mint az \(\displaystyle AM_A\) oldal. Ebből két fontos következtetést tudunk levonni. Egyfelől \(\displaystyle K_AD\) az \(\displaystyle ABC\) kör átmérőjének fele, azaz egyik átmérője a Feuerbach-körnek, másfelől a párhuzamosság miatt \(\displaystyle MK_AD\sphericalangle=T_AK_AD\sphericalangle=T_AAO\sphericalangle=\beta-\gamma\).

Végül tekintsük a \(\displaystyle K_AT_AD\) derékszögű háromszöget. Átfogójának felezőpontja, egyben körülírt körének középpontja az \(\displaystyle F\) pont, amelytől egyforma távolságra vannak a csúcsok. Ennek megfelelően \(\displaystyle K_AF=T_AF\), \(\displaystyle T_AK_AF\sphericalangle=K_AT_AF\sphericalangle=\beta-\gamma\). Az \(\displaystyle F\) pont rajta van a \(\displaystyle T_AF_A\) egyenesen.

Ugyanez igazolható a másik két egyenes esetében is, a három egyenes az \(\displaystyle F\) pontban metszi egymást.

Statistics:

43 students sent a solution.
6 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Elias Simon, Farkas 005 Bendegúz, Fehérvári Donát, Fodor Dóra, Fórizs Emma, Gömze Norken, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Lincoln Liu, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Sárdinecz Dóra, Tömböly 299 Áron, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Rudolf, Virág Tóbiás, Vödrös Dániel László, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás.
5 points:	Anay Aggarwal, Forrai Boldizsár, Sha Jingyuan, Szakács Ábel.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023