Problem B. 5334. (October 2023)

B. 5334. What is the smallest \(\displaystyle n\) for which every convex \(\displaystyle n\)-gon has two adjacent obtuse angles?

Paul Erdős, 1913–1996

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ismert, hogy minden konvex \(\displaystyle n\)-szög külső szögeinek összege \(\displaystyle 360^\circ\). Egy legfeljebb \(\displaystyle 90^\circ\)-os belső szöghöz (azaz hegyes- vagy derékszöghöz) tartozó külső szög legalább \(\displaystyle 90^\circ\)-os. Ilyenből tehát legfeljebb 4 fér el a \(\displaystyle 360^{\circ}\)-nyi külső szögösszegben – és 4 is csak akkor, ha 4 derékszögön kívül nincs más szög (azaz egy téglalapról van szó). Következésképpen, ha \(\displaystyle n > 4\), akkor egy konvex \(\displaystyle n\)-szögnek legfeljebb 3 olyan szöge lehet, amely nem tompaszög.

Ha \(\displaystyle n \geq 7\), akkor ez azt jelenti, hogy a szögeinek több mint fele tompaszög. Ha a szögek több mint fele tompaszög, akkor pedig kell legyen két szomszédos tompaszög (hiszen ha mind az \(\displaystyle n\) oldal valamelyik végén volna egy hegyes- vagy derékszög, akkor az ilyen szögek száma legalább \(\displaystyle n/2\) lenne, mivel egy szög csak két oldallal találkozik).

Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle n \geq 7\) esetén minden konvex \(\displaystyle n\)-szögnek van két szomszédos tompaszöge.

Másrészt mutatunk \(\displaystyle n = 6\) esetére egy ellenpéldát. Egy szabályos háromszög (\(\displaystyle ABC\)) oldalaira szerkesszünk kifelé egy-egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget (\(\displaystyle AA'B\), \(\displaystyle BB'C\), \(\displaystyle CC'A\)) úgy, hogy mindig az új csúcsnál legyen a derékszög. Így egy olyan \(\displaystyle AA'BB'CC'\) konvex hatszöget kapunk, amelynek nincs két szomszédos tompaszöge.

Tehát \(\displaystyle 7\) a legkisebb \(\displaystyle n\), amelyre minden konvex \(\displaystyle n\)-szögnek van két szomszédos tompaszöge.

Statistics:

192 students sent a solution.
3 points:	82 students.
2 points:	37 students.
1 point:	22 students.
0 point:	25 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	20 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023