Problem B. 5336. (October 2023)
B. 5336. The organizers of a school event bought four kinds of sweets to use them as awards for correct answers. The prices paid for them were \(\displaystyle 1300\) forints (HUF, Hungarian currency), \(\displaystyle 3000\) forints, \(\displaystyle 3300\) forints and (for questions for the audience) a large number of sweets for \(\displaystyle 50\) forints a piece.
The total was \(\displaystyle 41\,300\) forints, and the mean price per item was exactly \(\displaystyle 100\) forints. How many of each kind did they buy?
Proposed by G. Kiss, Csömör
(4 pont)
Deadline expired on November 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a vásárolt mennyiség az \(\displaystyle 1300, ~3000, ~3300\) és \(\displaystyle 50\) Ft-ba kerülő édességekből rendre \(\displaystyle x, ~y, ~z, ~u\) darab. Ekkor két egyenletet tudunk felírni a darabszámok összege és a teljes bekerülési költség alapján.
\(\displaystyle x+y+z+u=413,\tag{1}\)
\(\displaystyle 1300x+3000y+3300z+50u=41300.\tag{2}\)
Osszuk el a második egyenletet \(\displaystyle 50\)-nel, majd vonjuk ki belőle az első egyenletet.
\(\displaystyle 26x+60y+66z+u=826,\)
\(\displaystyle 25x+59y+65z=413.\)
Ez az egyenlet már csak három ismeretlent tartalmaz, ráadásul a bal oldalon két tag is osztható 5-tel.
Rendezzük úgy egyenletünket, hogy egyik oldalra kerüljenek az 5 többszörösei, a másik oldalra pedig a többi tag.
\(\displaystyle 5(5x+13z)=413-59y.\)
Így már látható, hogy a jobb oldal is szorzattá alakítható, mert \(\displaystyle 413=7\cdot 59\).
\(\displaystyle 5(5x+13z)=59(7-y). \)
A bal oldalon 5-tel osztható pozitív egész szám van, a jobb oldal is pozitív és osztható 5-tel, ráadásul \(\displaystyle y\ge 0\), így \(\displaystyle 7-y=5\), azaz \(\displaystyle y=2\). Meg kell még oldanunk az
\(\displaystyle 5x+13z=59\)
lineáris diofantoszi egyenletet a nemnegatív egészek halmazán. A \(\displaystyle z\) értéke legfeljebb 4 lehet, mivel \(\displaystyle \frac{59}{13}<5\). Az utolsó számjegyek alapján \(\displaystyle 13z\) utolsó jegye csak \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 9\) lehet, emaitt \(\displaystyle z=3\) és \(\displaystyle x=4\) az egyetlen lehetséges számpár.
Összefoglalva: 4 db 1300 Ft-os, 2 db 3000 Ft-os, 3 darab 3300 Ft-os, továbbá 404 db 50 Ft-os édességet vásároltunk.
Ellenőrzésképpen a vásárlási összeg valóban:
\(\displaystyle 4\cdot 1300+2\cdot 3000+3\cdot 3300+404\cdot 50=41300.\)
Statistics:
193 students sent a solution. 4 points: 132 students. 3 points: 23 students. 2 points: 9 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 19 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023