Problem B. 5339. (October 2023)

B. 5339. A circle \(\displaystyle k_1\) touches another circle \(\displaystyle k_2\) from the inside at point \(\displaystyle P\). Let \(\displaystyle M\) denote an arbitrary point on the circumference of \(\displaystyle k_1\), and let the tangent drawn to \(\displaystyle k_1\) at \(\displaystyle M\) intersect \(\displaystyle k_2\) at points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\). Show that \(\displaystyle PM\) bisects the angle \(\displaystyle APB\).

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás Mivel a két kör tartalmazza, és a \(\displaystyle P\) pontban érinti egymást, a \(\displaystyle P\) pont a két kör külső hasonlósági pontja. Tehát, a \(\displaystyle P\) pontból a \(\displaystyle k_1\) kört a \(\displaystyle k_2\) körbe nagyíthatjuk. Legyen \(\displaystyle M'\) az \(\displaystyle M\) pont képe a nagyítás szerint, ekkor tehát az \(\displaystyle M'\) pont a \(\displaystyle PM\) szakasz \(\displaystyle M\)-n túli meghosszabbításának és a \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle P\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívének metszéspontja.

A feltétel szerint az \(\displaystyle AB\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) körhöz az \(\displaystyle M\) pontban húzott érintő. Ezt a tulajdonságot a nagyítás megőrzi, tehát \(\displaystyle AB\) képe a \(\displaystyle k_2\) körhöz az \(\displaystyle M'\) pontban húzott érintő.

Azt is tudjuk, hogy a középpontos nagyítás iránytartó, ezért a két érintő párhuzamos egymással. Az \(\displaystyle AB\) köríven az ívfelező pont az egyetlen, ahonnan \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos érintő húzható, tehát az \(\displaystyle M'\) pont a \(\displaystyle k_2\) kör \(\displaystyle AB\) ívének felezőpontja.

Mivel az \(\displaystyle AM'\) és \(\displaystyle M'B\) ívek egyenlők, ezekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak, \(\displaystyle APM'\sphericalangle=M'PB\sphericalangle\), vagyis a \(\displaystyle PMM'\) egyenes valóban felezi az \(\displaystyle APB\) szöget.

Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:	60 students.
3 points:	12 students.
2 points:	10 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023