Problem B. 5341. (October 2023)

B. 5341. The centroid of a regular tetrahedron \(\displaystyle ABCD\) is \(\displaystyle S\), and an arbitrary interior point is \(\displaystyle P\). Reflect point \(\displaystyle P\) in the planes of the four faces of the tetrahedron to obtain tetrahedron \(\displaystyle XYZW\). Show that the centroid of \(\displaystyle XYZW\) is the point that divides line segment \(\displaystyle PS\) in the ratio \(\displaystyle 2:1\), with the shorter piece next to \(\displaystyle S\).

Based on a problem from Monthly

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszuk vonatkoztatási pontnak \(\displaystyle S\)-t, az \(\displaystyle S\)-ből a pontokba mutató vektorokat jelöljük a megfelelő vastagon szedett kisbetűkkel. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=|\mathbf d|=1\), s ekkor \(\displaystyle \mathbf a \mathbf b=\mathbf a \mathbf c=\ldots=-1/3\). Ismert, hogy \(\displaystyle \mathbf p = \alpha \mathbf a+\beta \mathbf b+\gamma \mathbf c+\delta \mathbf d\) alakban írható, ahol \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=1.\)

Jelölje \(\displaystyle P\) merőleges vetületét az \(\displaystyle ABC\) lapsíkra \(\displaystyle M\), s keressük \(\displaystyle \mathbf m= \alpha_1 \mathbf a+\beta_1 \mathbf b+\gamma_1 \mathbf c\) alakban, ahol \(\displaystyle \alpha_1+\beta_1+\gamma_1=1\). Ekkor \(\displaystyle PM\perp ABC\) miatt a belső szorzatokra

\(\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf a \rangle= \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf b \rangle=\langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf c \rangle.\)

Itt \(\displaystyle \mathbf m - \mathbf p=(\alpha_1-\alpha) \mathbf a+ (\beta_1-\beta) \mathbf b+(\gamma_1-\gamma) \mathbf c-\delta \mathbf d\), amiből \(\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf a \rangle=\alpha_1-\alpha+(\beta-\beta_1+\gamma-\gamma_1+\delta)/3=4(\alpha_1-\alpha)/3\). Hasonlóan \(\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf b \rangle=4(\beta_1-\beta)/3\) és \(\displaystyle \langle \mathbf m - \mathbf p \, , \, \mathbf c \rangle=4(\gamma_1-\gamma)/3\). Ezekből \(\displaystyle \alpha_1=(\alpha-\gamma)+\gamma_1\) és \(\displaystyle \beta_1=(\beta-\gamma)+\gamma_1\), amiket az \(\displaystyle \alpha_1+\beta_1+\gamma_1=1\) összefüggésbe helyettesítve, rendezés után \(\displaystyle \gamma_1=\gamma+\delta/3\) adódik. Hasonlóan \(\displaystyle \alpha_1=\alpha+\delta/3\) és \(\displaystyle \beta_1=\beta+\delta/3\), azaz

\(\displaystyle \mathbf m= \left ( \alpha +\frac \delta 3 \right ) \mathbf a+\left ( \beta +\frac \delta 3 \right ) \mathbf b+\left ( \gamma +\frac \delta 3 \right ) \mathbf c.\)

Innen pedig a \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle ABC\) síkra vonatkozó \(\displaystyle X\) tükörképére

\(\displaystyle \mathbf x=\mathbf p + 2(\mathbf m - \mathbf p)=2 \mathbf m - \mathbf p= \left ( \alpha +\frac {2 \delta} 3 \right ) \mathbf a+\left ( \beta +\frac {2 \delta} 3 \right ) \mathbf b+\left ( \gamma +\frac {2\delta} 3 \right ) \mathbf c - \delta \mathbf d.\)

Hasonlóan számolható a többi lapra vonatkozó tükörkép is. Az \(\displaystyle XYZW\) tetraéder \(\displaystyle R\) súlypontjára pedig számolás után

\(\displaystyle \mathbf r=\frac{\mathbf x+ \mathbf y +\mathbf z+ \mathbf w}{4}=\frac{\alpha \mathbf a+ \beta \mathbf b + \gamma \mathbf c + \delta \mathbf d }{3}\)

adódik, ami igazolja az állítást.

Megjegyzés. Az \(\displaystyle \mathbf m\) vektort adó formula helyessége a képlet ismeretében már gyorsan igazolható: az \(\displaystyle \mathbf m= \left ( \alpha +\frac \delta 3 \right ) \mathbf a+\left ( \beta +\frac \delta 3 \right ) \mathbf b+\left ( \gamma +\frac \delta 3 \right ) \mathbf c\) helyvektorral adott \(\displaystyle M\) pont illeszkedik az \(\displaystyle ABC\) síkra, mert az együtthatók összege \(\displaystyle 1\), továbbá

\(\displaystyle \mathbf m - \mathbf p= \frac \delta 3 \mathbf a+ \frac \delta 3 \mathbf b+\frac \delta 3 \mathbf c - \delta \mathbf d=\frac {-2 \delta}{3} \mathbf d,\)

ami valóban merőleges az \(\displaystyle ABC\) síkra. (A számolásban kihasználtuk, hogy \(\displaystyle \mathbf a +\mathbf b +\mathbf c+ \mathbf d= \mathbf 0\).)

Statistics:

31 students sent a solution.
6 points:	Aravin Peter, Bodor Mátyás, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Forrai Boldizsár, Gömze Norken, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Kovács Benedek Noel, Puppi Barna, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szakács Ábel, Tömböly 299 Áron, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Vödrös Dániel László, Zhai Yu Fan.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023