Problem B. 5342. (November 2023)

B. 5342. Let us pick four consecutive integers of the same parity, and take the products of all possible pairs. Prove that the sum of these products cannot be a perfect square.

Proposed by G. Kiss, Csömör

(3 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük így a négy másodszomszédos egész számot: \(\displaystyle n-3\), \(\displaystyle n-1\), \(\displaystyle n+1\), \(\displaystyle n+3\). Ekkor a páronkénti szorzataiknak az összege

\(\displaystyle \left((n+3)+(n-3)\right) \cdot \left((n+1)+(n-1)\right) + (n+3)(n-3) + (n+1)(n-1) = 6n^2-10. \)

Ismert, hogy egy négyzetszám nem adhat 2 maradékot 3-mal osztva, ezért \(\displaystyle 6n^2-10 = 3(2n^2-4) + 2\) nem lehet négyzetszám.

Statistics:

189 students sent a solution.
3 points:	123 students.
2 points:	12 students.
1 point:	20 students.
0 point:	13 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023