Problem B. 5343. (November 2023)
B. 5343. Decide which one of numbers
$$\begin{align*} A & = 1! - 2! + 3! - 4! + \ldots + 2021! - 2022! + 2023! \quad\text{and}\\ B & =(1-2+3-4+\ldots+2021-2022+2023)! \end{align*}$$is the bigger.
Proposed by B. Hujter, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on December 11, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle A>B\).
Egyrészt, világos, hogy \(\displaystyle B=1012!\), hiszen kettesével csoportosítva a tagokat 1011 darab \(\displaystyle (-1)\) és a pár nélkül maradó 2023 összegét kapjuk.
Másrészt, \(\displaystyle A\geq -2022!+2023!=2022!(2023-1)=2022\cdot 2022!\), hiszen az \(\displaystyle A\)-t adó előjeles összeg
\(\displaystyle A=1!+(-2!+3!)+(-4!+5!)+\dots+(-2022!+2023!)\)
alakban is írható, ahol az összeadandók pozitívak.
Ezért \(\displaystyle B=1012!<2022!<A\), tehát valóban \(\displaystyle A\) a nagyobb.
Statistics:
201 students sent a solution. 3 points: 136 students. 2 points: 25 students. 1 point: 10 students. 0 point: 7 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 18 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023