Problem B. 5344. (November 2023)

B. 5344. Anti and Bandi would like to get from Balatonmáriafürdő to Balatonlelle, which is 30 kilometers away, partly on foot and partly by bicycle. They start at the same time, and they only have a single bicycle. Anti's speed by bicycle is 30 km/h, and he can run with a speed of 15 km/h. Bandi's speed by bicycle is 20 km/h, and he can run with a speed of 12 km/h. Find the least amount of time they need to get to their destination in minutes. (During their trip they can swap the bicycle with each other as many times as they want, and the bicycle can be safely left at the side of the road.)

Proposed by P.\(\displaystyle \,\)P. Pach, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először vizsgáljuk meg, mi a leggyorsabb olyan stratégia, aminél Anti egy darabig biciklivel megy, valahol leteszi, onnan pedig végig fut, Bandi pedig futva kezd, egészen az Anti által letett bicikliig fut, majd onnan Lelléig végig biciklizik. (Mindketten mindig a lehető legnagyobb sebességgel haladnak.)

Tegyük fel, hogy Anti Máriától \(\displaystyle x\) km-re teszi le a biciklit. Ekkor az ő Lellére érkezéséhez szükséges idő \(\displaystyle \frac{x}{30}+\frac{30-x}{15}\) óra, Bandié pedig \(\displaystyle \frac{x}{12}+\frac{30-x}{20}\) óra. Kettejük odaérkezéséhez így

\(\displaystyle \max\left(\frac{x}{30}+\frac{30-x}{15},\frac{x}{12}+\frac{30-x}{20}\right)\)

órára van szükség. Az első érték (Anti ideje) \(\displaystyle x\) függvényében monoton csökkenő, a második érték (Bandi ideje) pedig \(\displaystyle x\) függvényében monoton növő; akkor járnak a legjobban, ha a két érték megegyezik, hiszen az itt kapott értéknél minden más esetben nagyobb lesz a maximum. (Kisebb \(\displaystyle x\) esetén Anti, nagyobb \(\displaystyle x\) esetén Bandi ideje lesz nagyobb.) Az

\(\displaystyle \frac{x}{30}+\frac{30-x}{15}=\frac{x}{12}+\frac{30-x}{20}\)

egyenlet megoldása \(\displaystyle x=7,5\), ekkor a maximum értéke \(\displaystyle 1,75\). Tehát találtunk egy módszert, amivel \(\displaystyle 1,75\) óra, vagyis 1 óra 45 perc alatt mindketten Lellére érhetnek.

A továbbiakban belátjuk, hogy ennél gyorsabban nem tudják megoldani. Tekintsünk tehát egy tetszőleges eljutást. Jelölje rendre \(\displaystyle x\), illetve \(\displaystyle y\) azt, hogy Mária és Lelle között Anti, illetve Bandi hány km-rel többet biciklizett Lelle irányába, mint visszafelé. Világos, hogy \(\displaystyle x+y\leq 30\), hiszen a bicikli legfeljebb 30 km-rel mozdulhatott el Mária és Lelle között.

Nézzük most Anti eljutási idejét. Biciklin ülve összességében \(\displaystyle x\) km-rel került közelebb Lelléhez, a biciklizési ideje így legalább \(\displaystyle \frac{x}{30}\) óra volt. Mivel legalább \(\displaystyle 30-x\) km-t futva kellett megtennie Lelle irányába, így a futási ideje legalább \(\displaystyle \frac{30-x}{15}\) óra. Tehát Anti eljutási ideje legalább \(\displaystyle \frac{x}{30}+\frac{30-x}{15}\) óra. Ehhez hasonlóan, Bandi eljutási ideje legalább \(\displaystyle \frac{y}{20}+\frac{30-y}{12}\) óra, ami \(\displaystyle y\)-ban monoton csökkenő, és így \(\displaystyle y\leq 30-x\) miatt \(\displaystyle \frac{y}{20}+\frac{30-y}{12}\geq \frac{30-x}{20}+\frac{x}{12} \). Így ahhoz, hogy mindketten odaérjenek, legalább

\(\displaystyle \max\left(\frac{x}{30}+\frac{30-x}{15},\frac{x}{12}+\frac{30-x}{20}\right)\)

óra szükséges, ennek minimumát azonban már vizsgáltuk, és így kaptuk az 1 óra 45 perces értéket.

Tehát legalább 1 óra 45 percre van szükségük ahhoz, hogy mindketten Lellére érjenek.

Statistics:

132 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Balaskó Imola, Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Chen JiaTong, Christ Miranda Anna, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Farkas Ábel, Fehérvári Donát, Fórizs Emma, Földi Krizsán Kitty, Holló Martin, Horák Zsófia, Inokai Ádám, Juhász-Molnár Erik, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kovács Benedek Noel, Máté Marcell, Miklós Janka, Morvai Várkony Albert, Op Den Kelder Ábel, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Sági Mihály, Sánta Gergely Péter, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Tran Dávid, Varga 511 Vivien, Virág Lénárd Dániel, Vödrös Dániel László, Zhai Yu Fan.
4 points:	42 students.
3 points:	23 students.
2 points:	6 students.
1 point:	4 students.
0 point:	7 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023