Problem B. 5345. (November 2023)

B. 5345. Prove that if the incircle and the nine-point circle of a triangle are concentric, then the triangle is equilateral.

Proposed by G. Kiss, Csömör

(4 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy \(\displaystyle c\ge b\ge a\), és használjuk az ábra jelöléseit: a Feuerbach-kör és a beírt kör közös középpontja legyen \(\displaystyle I\), a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\), továbbá a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BC\) oldalon \(\displaystyle E\) pont.

Jól ismert, hogy a beírt körhöz a csúcsokból húzott érintőszakaszok hossza kifejezhető a háromszög oldalaival: \(\displaystyle AE=s-a\), ahol \(\displaystyle s\) a háromszög félkerülete. Ebből \(\displaystyle EF=EA-FA=(s-a)-(c/2)=(b-a)/2\). Hasonlóan látható, hogy a háromszög másik két oldalán az érintési pont és a felezőpont közötti szakaszok \(\displaystyle (c-a)/2\) és \(\displaystyle (c-b)/2\) hosszúak.

Most vegyük észre, hogy a felezőpont és az érintési pont közé eső szakaszok mind egy-egy olyan derékszögű háromszög befogói, amelyeknek harmadik csúcsa az \(\displaystyle I\) pont, s így átfogója a Feuerbach-kör \(\displaystyle R/2\) sugara, másik befogója pedig a beírt kör \(\displaystyle r\) sugara (lásd az ábrán színezett háromszögeket). Így ez a három háromszög egybevágó, következésképp oldalaik páronként egyenlőek, amiből

\(\displaystyle b-a=c-b=c-a.\)

Ebből \(\displaystyle a=b=c\) azonnal adódik, ami igazolja a feladat állítását.

Statistics:

107 students sent a solution.
4 points:	77 students.
3 points:	13 students.
2 points:	5 students.
1 point:	7 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023