Problem B. 5347. (November 2023)

B. 5347. Prove that if \(\displaystyle r\) is a positive rational number, and \(\displaystyle r^r\) is also rational, then \(\displaystyle r\) is an integer.

Proposed by Cs. Sándor, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel az \(\displaystyle r\) racionális számot \(\displaystyle r=\frac{p}{q}\) alakban, ahol \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) relatív prím pozitív egész számok. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle r^r\) is racionális, ekkor felírható \(\displaystyle r^r=\frac{s}{t}\) alakban, ahol \(\displaystyle s\) és \(\displaystyle t\) relatív prím pozitív egész számok. Mivel

\(\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)^{p/q}=\frac{s}{t},\)

ezért

\(\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)^{p}=\left(\frac{s}{t}\right)^q,\)

és a nevezőkkel való átszorzás után

\(\displaystyle p^pt^q=q^ps^q.\)

Mivel \(\displaystyle (p,q)=1\), ezért \(\displaystyle q^p\mid t^q\), és mivel \(\displaystyle (s,t)=1\), ezért \(\displaystyle t^q\mid q^p\). Tehát a \(\displaystyle q^p\) és \(\displaystyle t^q\) pozitív egész számok osztják egymást, így egyenlők:

\(\displaystyle q^p=t^q.\)

Ezért \(\displaystyle q^p\) prímtényezős felbontásában minden prím kitevője osztható \(\displaystyle q\)-val, így \(\displaystyle (p,q)=1\) alapján már \(\displaystyle q\) prímtényezős felbontásában is minden kitevő osztható kell legyen \(\displaystyle q\)-val, tehát \(\displaystyle q\) egy \(\displaystyle q\)-adik hatvány: \(\displaystyle q=a^q\) valamely \(\displaystyle a\) pozitív egészre. Azonban \(\displaystyle a\geq 2\) esetén \(\displaystyle q=a^q\geq 2^q>q\) ellentmondásra vezetne, tehát csak \(\displaystyle a=1\) lehet. Így \(\displaystyle q=1\), és ezért \(\displaystyle r=p/q=p\) valóban egész.

Statistics:

101 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Balassa János, Baráth Borbála, Bedő Patrik, Bodor Mátyás, Chen JiaTong, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Farkas Ábel, Fehérvári Donát, Fleischman Illés, Fórizs Emma, Görömbey Tamás, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Inokai Ádám, Juhász-Molnár Erik, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Molnár István Ádám, Morvai Várkony Albert, Op Den Kelder Ábel, Pálfi András, Pázmándi József Áron, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szabó Imre Bence, Szakács Ábel, Szeibert Dominik, Szemlér Bálint, Tamás Gellért, Tömböly 299 Áron, Tran Dávid, Vigh 279 Zalán, Vödrös Dániel László, Wágner Márton.
4 points:	8 students.
3 points:	3 students.
2 points:	13 students.
1 point:	11 students.
0 point:	11 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023