Problem B. 5349. (November 2023)

B. 5349. The edges of parallelepiped \(\displaystyle P\) all have lengths that are at most \(\displaystyle 1\). Let \(\displaystyle X\) be an arbitrary point of \(\displaystyle P\). Show that we can find a vertex of \(\displaystyle P\) such that its distance from \(\displaystyle X\) is at most \(\displaystyle \sqrt 3 /2\).

Proposed by V. Vígh, Sándorfalva

(6 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vetítsük le merőlegesen az \(\displaystyle X\) pontot a \(\displaystyle P\) \(\displaystyle X\)-hez (egyik) legközelebbi \(\displaystyle L\) lapjára, így kapjuk \(\displaystyle X_1\)-t. (\(\displaystyle X_1\) valóban \(\displaystyle L\) lapra esik, különben \(\displaystyle XX_1\) vetítő szakasz metszené \(\displaystyle P\) egy \(\displaystyle L\)-től különböző lapját, amely lap így közelebb lenne \(\displaystyle X\)-hez, mint \(\displaystyle L\).) Ezután vetítsük \(\displaystyle X_1\)-t az \(\displaystyle L\) paralelogramma hozzá legközelebb eső (egyik) \(\displaystyle e\) élére, a vetületet jelölje \(\displaystyle X_2\). (Hasonlóan, mint az előbb, \(\displaystyle X_2\) ráesik \(\displaystyle e\) élre.) Végül az \(\displaystyle e\) él \(\displaystyle X_2\)-höz közelebbi végpontja legyen \(\displaystyle A\). Mivel \(\displaystyle P\) minden éle legfeljebb egységnyi, így a paralelepipedon minden magassága is legfeljebb \(\displaystyle 1\), továbbá \(\displaystyle L\) minden magassága is legfeljebb \(\displaystyle 1\). Ezért \(\displaystyle XX_1\le 1/2\) és \(\displaystyle X_1X_2\le 1/2\), valamint nyilvánvalóan \(\displaystyle X_2A\le 1/2\). Ezekből a térbeli Pitagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle XA^2=XX_1^2+X_1X_2^2+X_2A^2\le \left ( \frac 12 \right )^2+\left ( \frac 12 \right )^2+\left ( \frac 12 \right )^2=\frac 34.\)

Ebből az állítás következik.

Statistics:

56 students sent a solution.
6 points:	Ali Richárd, Diaconescu Tashi, Holló Martin, Horák Zsófia, Kovács Benedek Noel, Sárdinecz Dóra, Tamás Gellért, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
5 points:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Szakács Ábel, Tömböly 299 Áron, Veres Dorottya.
3 points:	7 students.
2 points:	5 students.
1 point:	9 students.
0 point:	15 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023