Problem B. 5354. (December 2023)

B. 5354. Prove that the Euler line of a scalene triangle is parallel to one of the interior angle bisectors if and only if the bisected angle is \(\displaystyle 120^{\circ}\).

Submitted by Roland Jármai, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az alábbi ábrát és jelöléseit.

Koordinátarendszert fogunk használni. Legyen az origó az \(\displaystyle ABC\) köré írt kör \(\displaystyle O\) középpontja, a köré írt kör sugara pedig \(\displaystyle R\). Vegyük úgy fel (azaz forgassuk úgy el \(\displaystyle O\) körül) az \(\displaystyle ABC\) háromszöget, hogy a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsok \(\displaystyle y\)-koordinátája azonos (\(\displaystyle v\)) legyen. Ekkor a csúcsok koordinátái: \(\displaystyle A(x;y)\), \(\displaystyle B(-u;v)\) és \(\displaystyle C(u;v)\). Legyenek továbbá (a szokásos módon) az \(\displaystyle O\) origóból az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsokba mutató vektorok rendre \(\displaystyle \underline{\textbf{a}}\), \(\displaystyle \underline{\textbf{b}}\) és \(\displaystyle \underline{\textbf{c}}\). Ismert, hogy a háromszög Euler-egyenesén rajta van a háromszög \(\displaystyle M\) magasságpontja és az ebbe mutató helyvektor \(\displaystyle \underline{\textbf{m}} = \underline{\textbf{a}} + \underline{\textbf{b}} + \underline{\textbf{c}}\). Továbbá ismert, hogy a háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló belső szögfelező a köréírt kört a \(\displaystyle BC\) ív (\(\displaystyle A\)-t nem tartalmazó) \(\displaystyle F\) felezőpontjában metszi.

Az eddigiek szerint az \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle M\) pont koordinátái: \(\displaystyle F(0;-R)\) és \(\displaystyle M(x-u+u;y+v+v)=M(x;y+2v)\). Az Euler-egyenes pontosan akkor párhuzamos az \(\displaystyle f_a\) szögfelezővel, ha teljesül \(\displaystyle \overrightarrow{OM} \parallel \overrightarrow{FA}\) (ezek a feltételekből adódóan nem nullvektorok), ami pontosan akkor igaz, ha az egyik (mondjuk az \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\)) vektor a másik \(\displaystyle \lambda\)-szorosa valamely \(\displaystyle \lambda \neq 0\) valós számra.

Ekkor a vektorok koordinátáira \(\displaystyle \overrightarrow{OM}=(x;y+2v) = \lambda \cdot \overrightarrow{FA} = \lambda \cdot (x;y+R)=(\lambda \cdot x; \lambda \cdot (y+R))\). Innen \(\displaystyle x= \lambda \cdot x\) miatt \(\displaystyle \lambda=1\) és így \(\displaystyle y+2v=y+R \Longleftrightarrow v=\dfrac{R}{2}\). De akkor (mivel \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) rajta vannak az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle R\) sugarú körön) a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok koordiánátái \(\displaystyle B\left( -\frac{\sqrt 3}{2}R; \frac{1}{2} R \right)\) és \(\displaystyle C\left( \frac{\sqrt 3}{2}R; \frac{1}{2} R \right)\) és így a \(\displaystyle CBF\) háromszög szabályos. Azaz \(\displaystyle BFC \sphericalangle = 60^{\circ}\), ezért az \(\displaystyle ABFC\) húrnégyszög \(\displaystyle A\)-nál lévő szögére \(\displaystyle CAB \sphericalangle = 120^{\circ}\).

Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle f_a \parallel OM\) esetén az \(\displaystyle A\)-nál lévő szög \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os. Mivel a lépéseink vagy eleve ekvivalensek voltak, vagy mind (jól láthatóan) megfordíthatóak igazoltuk, hogy \(\displaystyle f_a\) pontosan akkor párhuzamos az Euler egyenessel, ha az \(\displaystyle A\)-nál lévő szög valóban \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os.

Megjegyzés: A bizonyításunkból az is adódik, hogy az \(\displaystyle OMAF\) négyszög pontosan a feltételek teljesülése esetén paralelogramma.

Statistics:

48 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Erdélyi Kata, Fekete Aron, Gömze Norken, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Kővágó Edit Gréta, Morvai Várkony Albert, Op Den Kelder Ábel, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szakács Ábel, Tömböly 299 Áron, Török Eszter Júlia, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
4 points:	Csonka Illés, Forrai Boldizsár, Juhász-Molnár Erik, Kocsis 827 Péter, Tran Dávid.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023