Problem B. 5358. (January 2024)
B. 5358. Find the largest number of distinct positive integers that can be chosen in a way that the sum of any two chosen integers is a perfect power of 2 (with a non-negative exponent).
Proposed by Bálint Hujter, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on February 12, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Három egész számot meg lehet így adni, például: \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\). (Ekkor a páronkénti összegek: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\)).
Háromnál többet azonban nem lehet megadni. Egyrészt, legfeljebb egy negatív lehet a megadott számok között, hiszen két negatív összege is negatív volna. Másrészt, ha lenne három pozitív: \(\displaystyle 0 < a < b < c\) a megadott számok között, akkor valamilyen \(\displaystyle k, \ell, m \neq 0\) egészekkel teljesülne az alábbi egyenletrendszer:
$$\begin{eqnarray*} a + b &=& 2^k, \\ a + c &=& 2^{\ell}, \\ b + c &=& 2^m. \end{eqnarray*}$$Itt \(\displaystyle a+b < a+c < b+c\), tehát \(\displaystyle k < \ell < m\). Ekkor teljesülne, hogy
\(\displaystyle 2a = (a+b) + (a+c) - (b+c) = 2^k + 2^{\ell} - 2^m < 2^{\ell} + 2^{\ell} - 2^m = 2^{\ell+1} - 2^m \leq 0, \)
ellentmondva az \(\displaystyle a > 0\) feltételnek.
Statistics:
104 students sent a solution. 3 points: 72 students. 2 points: 5 students. 1 point: 10 students. 0 point: 5 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 9 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024