Problem B. 5359. (January 2024)

B. 5359. \(\displaystyle a)\) Does there exist a triangle such that all of its sides have integer length, and its area is less than \(\displaystyle 1/10\)?

\(\displaystyle b)\) Does there exist a quadrilateral such that all of its sides have integer length, and its area is less than \(\displaystyle 1/10\)?

Proposed by Vígh Viktor, Sándorfalva

(3 pont)

Deadline expired on February 12, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a háromszög három oldala az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egész számok, akkor a háromszög félkerületére \(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{3}{2}\). Továbbá a háromszög-egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle a<b+c\), az oldalak egész volta miatt ebből következik, hogy \(\displaystyle a +1 \leq b+c\) és így \(\displaystyle 1 \leq -a+b+c\). Így az \(\displaystyle (s-a)=\frac{-a+b+c}{2}\), továbbá (hasonlóan) az \(\displaystyle (s-b)\) és \(\displaystyle (s-c)\) különbségek mindegyike legalább \(\displaystyle \frac{1}{2}\). Héron képletét használva a háromszög területére teljesül: \(\displaystyle T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \geq \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\). Mivel \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0,433\) nagyobb, mint \(\displaystyle 1/10\), ezért nincs egész oldalú \(\displaystyle 1/10\)-nél kisebb területű háromszög.

\(\displaystyle b)\) Tekintsünk egy olyan rombuszt, amelynek oldala egységnyi, a rombusz kisebbik szögét pedig jelöljük \(\displaystyle \alpha\)-val. A rombusz területe ekkor \(\displaystyle T=1^2 \cdot \sin \alpha = \sin \alpha\). Mivel hegyesszögekre a szinuszfüggvény \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) között minden értéket felvesz, így felvesz \(\displaystyle 1/10\)-nél kisebb értéket is. (Például \(\displaystyle \alpha = 5^{\circ}\) esetén \(\displaystyle T=\sin 5^{\circ} \approx 0,087\)). Azaz a válasz igen; van egész oldalú \(\displaystyle 1/10\)-nél kisebb területű négyszög.

Statistics:

127 students sent a solution.
3 points:	100 students.
2 points:	12 students.
1 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024