Problem B. 5360. (January 2024)
B. 5360. The largest angle of scalene triangle \(\displaystyle ABC\) is at vertex \(\displaystyle C\). Let \(\displaystyle T\) denote the foot of altitude from vertex \(\displaystyle C\), and let the angle bisector from vertex \(\displaystyle C\) intersect side \(\displaystyle AB\) at point \(\displaystyle F\). Prove that \(\displaystyle \frac{AT}{TB}=\bigg(\frac{AF}{FB}\bigg)^2\) if and only if \(\displaystyle \angle ACB =90^\circ\).
Based on the idea of Mihály Hujter, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on February 12, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Használjuk az oldalakra az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) jelöléseket a szokásos módon, a \(\displaystyle CT\) magasságot jelölje \(\displaystyle m\), továbbá legyen \(\displaystyle AT=y\) és \(\displaystyle TB=x\). (A feltételek szerint \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle AB\) oldal belső pontja, így \(\displaystyle x,\,y>0\); továbbá \(\displaystyle x-y\neq 0\) is teljesül.) A szögfelelezőtétel szerint \(\displaystyle AF/FB=b/a\), ezt a megoldás során többször kihasználjuk.
Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle C\)-nél derékszög van. Ekkor a befogótételt felírva az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) befogókra kapjuk, hogy \(\displaystyle cx=a^2\) és \(\displaystyle cy=b^2\). Ezekből
\(\displaystyle \frac{AT}{TB}=\frac yx=\frac{cy}{cx}=\frac{b^2}{a^2}=\left(\frac b a \right )^2=\left ( \frac {AF}{FB} \right)^2,\)
s ezzel az egyik irányt beláttuk.
Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle AT/TB=AF^2/FB^2\). Jelöléseink, és ismét a szögfelezőtétel szerint ezt \(\displaystyle y/x=b^2/a^2\) alakban írhatjuk, amiből \(\displaystyle a^2=x/y\cdot b^2\). Használjuk a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle ATC\) és \(\displaystyle BTC\) háromszögekben, így \(\displaystyle b^2-y^2=m^2=a^2-x^2\). Ebből
\(\displaystyle x^2-y^2=a^2-b^2=\frac xy b^2-b^2=\frac {x-y}{y}b^2.\)
Mivel \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú, így leoszthatunk az \(\displaystyle x-y\neq 0\) kifejezéssel, amiből \(\displaystyle x+y=b^2/y\) következik. Ezt átrendezve pedig az \(\displaystyle xy=b^2-y^2=m^2\) összefüggést nyerjük. Végül ezt, és ismét a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle ATC\) és \(\displaystyle BTC\) háromszögekben használjuk:
\(\displaystyle c^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=a^2-m^2+b^2-m^2+2m^2=a^2+b^2.\)
A Pitagorasz-tétel megfordításából következik az állítás másik iránya, amivel a bizonyítást befejeztük.
Megjegyzés: a bizonyítás második felében \(\displaystyle m^2=xy\) után lényegében a magasságtétel megfordítása történik. Ez kevéssé elterjedt állítás, hiszen ha \(\displaystyle T\) nem esik az \(\displaystyle AB\) oldalra, akkor \(\displaystyle m^2=xy\) teljesülhet nem derékszögű háromszögre is: legyen az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle a<b<c\); és tükrözzük az \(\displaystyle A\) pontot a \(\displaystyle CT\) magasságvonalra. Ekkor \(\displaystyle m\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) nem változik, de \(\displaystyle A'BC\) nem derékszögű. Ezért lényeges feltétel a feladatban, hogy \(\displaystyle C\)-nél van a legnagyobb szög. Érdemes továbbá megjegyezni, hogy \(\displaystyle AT/TB=AF^2/FB^2\) természetesen minden egyenlő szárú háromszögre is igaz, amelyben \(\displaystyle a=b\).
Statistics:
96 students sent a solution. 4 points: Ali Richárd, Balaskó Imola, Balaskó Noémi, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bővíz Dániel, Buday Noémi, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Elekes Dorottya, Erdélyi Kata, Farkas Ábel, Fehérvári Donát, Fekete Aron, Forrai Boldizsár, Gömze Norken, Hodossy Réka, Holló Martin, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Benedek Noel, Körmöndi Márk, Kővágó Edit Gréta, Miklós Janka, Molnár István Ádám, Morvai Várkony Albert, Ozsváth Botond, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sütő Áron, Szabó 810 Levente, Szabó Imre Bence, Szakács Ábel, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton. 3 points: 26 students. 2 points: 12 students. 1 point: 5 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024