Problem B. 5361. (January 2024)

B. 5361. Let \(\displaystyle a_n\) denote the number of ways \(\displaystyle 2n\) can be obtained as a sum of two positive prime numbers. Is it true that sequence \(\displaystyle (a_n)\) will be monotonically increasing from somewhere?

Proposed by Péter Pál Pach, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on February 12, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Belátjuk, hogy az \(\displaystyle (a_n)\) sorozat nem szigorúan növekedő semmilyen indextől kezdve sem. Tegyük fel indirekten, hogy \(\displaystyle n=k\)-tól kezdve szigorúan növekedő. Ekkor, mivel a sorozat elemei egész számok, ezért \(\displaystyle k<n\) esetén \(\displaystyle a_n>a_k+(n-k)\geq n-k\). Speciálisan, \(\displaystyle a_{4k}\geq 3k\), azonban a \(\displaystyle 2n=8k\) szám lehetséges előállításai, vagyis \(\displaystyle 1+(8k-1), 2+(8k-2),\dots,4k+4k\) között minden másodikban párosak az összeadandók, és a nagyobbik tag biztosan nem a 2. Így a \(\displaystyle 4k\) lehetséges előállítás közül legfeljebb \(\displaystyle 2k\)-ban lehet mindkét összeadandó prím, ami ellentmond az \(\displaystyle a_{4k}\geq 3k\) becslésnek. Ezzel az állításunkat bizonyítottuk.

Statistics:

65 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Baran Júlia, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Erdélyi Kata, Fajszi Karsa, Gömze Norken, Görömbey Tamás, Hodossy Réka, Holló Martin, Juhász-Molnár Erik, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Kovács Barnabás, Kovács Benedek Noel, Kővágó Edit Gréta, Nagy 665 Martin, Németh Bernát, Op Den Kelder Ábel, Ostyáni Anna, Petrányi Lilla, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szemlér Bálint, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 points:	Horák Zsófia, Kerekes András, Klement Tamás, Miszori Gergő, Molnár István Ádám, Morvai Várkony Albert, Tran Dávid, Vigh 279 Zalán.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024