Problem B. 5365. (January 2024)

B. 5365. Find the smallest real number \(\displaystyle \alpha\) for which it is possible to find infinitely many positive integers \(\displaystyle n\) with the property that the difference of \(\displaystyle \sqrt{13}\cdot n\) and the nearest integer is less than \(\displaystyle \alpha /n\).

Proposed by Ákos Somogyi, London

(6 pont)

Deadline expired on February 12, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás első részében alsó becslést adunk az \(\displaystyle \alpha\) értékére; a második részben megmutatjuk, hogy az alsó becslésünk megfelelő \(\displaystyle \alpha\) értéket ad.

I. Minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-hez legyen \(\displaystyle k(n)=\Big[\sqrt{13}n+\tfrac12\Big]\), a \(\displaystyle \sqrt{13}n\)-hez legközelebbi egész szám. (Világos, hogy \(\displaystyle k(n)\) pozitív, mert \(\displaystyle \sqrt{13}n+\tfrac12>4\).) Olyan \(\displaystyle \alpha\) számot keresünk, amelyhez léteznek olyan \(\displaystyle n_1<n_2<\ldots\) számok, amelyekre

\(\displaystyle \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big| < \dfrac{\alpha}{n_i}. \)

Szorozzuk meg a feltételt \(\displaystyle n_i\)-vel, továbbá ,,bővítsük", vagyis szorozzuk meg és osszuk el \(\displaystyle \Big(k(n_i)+\sqrt{13}n_i\Big)\)-vel:

\(\displaystyle \alpha > \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big|\cdot n_i = \dfrac{\Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big|\cdot\Big(k(n_i)+\sqrt{13}n_i\Big)}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i = \dfrac{\big|k(n_i)^2-13n_i^2\big|}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i. \)

A számlálóban az \(\displaystyle \big|k(n_i)^2-13n_i^2\big|\) egész szám, de nem lehet \(\displaystyle 0\), tehát legalább \(\displaystyle 1\). A nevezőben pedig \(\displaystyle k(n_i)<\sqrt{13}n_i+\tfrac12\). Ezért

\(\displaystyle \alpha > \dfrac{1}{k(n_i)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i > \dfrac{1}{\Big(\sqrt{13}n_i+\frac12\Big)+\sqrt{13}n_i}\cdot n_i = \dfrac{1}{2\sqrt{13}+\frac1{2n_i}}. \)

Az \(\displaystyle i\to\infty\) határátmenetből azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \alpha \ge \frac{1}{2\sqrt{13}}. \)

II. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}\) számhoz valóban létezik végtelen sok alkalmas pozitív egész \(\displaystyle n\). Az I. részből világos, hogy olyan \(\displaystyle n_i,k_i\) egészeket érdemes keresnünk, amelyekre \(\displaystyle \big|k_i^2-13n_i^2\big|=1\), illetve \(\displaystyle k_i>\sqrt{13}n\); a kettőt összevetve

Az \(\displaystyle x^2-dy^2=1\) diofantikus egyenletet Pell-egyenletnek nevezik, és jól ismert, hogy ha \(\displaystyle d\) pozitív egész, de nem négyzetszám, akkor végtelen sok pozitív egész megoldása van. A \(\displaystyle d=13\) esetben egy lehetséges konstrukció a következő.

Például próbálgatással megtalálhatjuk az \(\displaystyle \big|x^2-13y^2\big|=1\) egyenlet egy megoldását: \(\displaystyle 18^2-13\cdot5^2=-1\). A binomiális tétel szerint kifejtve, a \(\displaystyle (18\pm5\sqrt{13})^{2i}\) számokat felírhatjuk \(\displaystyle k_i\pm\sqrt{13}n_i\) alakban. Ezek szorzata

Mivel \(\displaystyle 0<k_i-\sqrt{13}n_i=\Big(18-5\sqrt{13}\Big)^{2i}<\dfrac12\), az is igaz, hogy \(\displaystyle k_i\) a \(\displaystyle \sqrt{13}n_i\)-hez legközelebbi egész, és \(\displaystyle k_i>\sqrt{13}n_i\).

Ezért a kapott \(\displaystyle k_i,n_i\) pozitív egészekre valóban teljesül, hogy

\(\displaystyle \Big|k(n_i)-\sqrt{13}n_i\Big| = k_i-\sqrt{13}n_i = \dfrac{k_i^2-13n_i^2}{k_i+\sqrt{13}n_i} < \dfrac{1}{\sqrt{13}n_i+\sqrt{13}n_i} = \frac{\alpha}{n_i}. \)

Tehát, a keresett szám: \(\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{13}}\).

Statistics:

16 students sent a solution.
6 points:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Holló Martin, Kovács Benedek Noel, Sági Mihály, Szakács Ábel, Zhai Yu Fan.
4 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2024